专题6 数学归纳法-【老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列3

■ ６２　 ■  ６!CDEF &'(?(+-(*/.G. 　　数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用 主要体现在证明等式、证明数列不等式、证明整 除性问题、归纳猜想证明等．本专题主要举例说 明利用数学归纳法证明数列问题． !"#wxy\ 在证明一个与正整数有关的命题时，可采用下面 两个步骤： １．（奠基）验证：ｎ＝ｎ０（ｎ０∈Ｎ ＋）时，命题成立； ２．（递推）假设 ｎ＝ｋ（ｋ∈Ｎ＋，ｋ≥ｎ０）时命题成 立，证明ｎ＝ｋ＋１时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何 从ｎ０开始的正整数ｎ，命题成立． 这种证明方法叫作数学归纳法． ３．利用数学归纳法证题的三个关键点 （１）验证是基础 找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初 始值不一定是１． （２）递推是关键 数学归纳法的实质是递推，分析从 ｎ＝ｋ到 ｎ ＝ｋ＋１的过程中，式子项数的变化，关键是 弄清等式两边的构成规律，即从ｎ＝ｋ到ｎ＝ｋ ＋１，等式的两边会增加多少项、增加怎样 的项． （３）利用假设是核心 在第二步证明 ｎ＝ｋ＋１成立时，一定要利用 归纳假设，即把归纳假设“ｎ＝ｋ时命题成立” 作为条件．在书写 ｆ（ｋ＋１）时，一定要把包 含ｆ（ｋ）的式子写出来，尤其是ｆ（ｋ）中的最后 一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假 设的证明就不是数学归纳法． 用数学归纳法证明不等式２ｎ＞（ｎ＋１）２（ｎ ∈Ｎ）时，初始值ｎ０应等于　　　　． 当 ｎ＝１时，２１＜（１＋１）２，不等式不成 立；当 ｎ＝２时，２２＜（２＋１）２，不等式不成立； 当ｎ＝３时，２３＜（３＋１）２，不等式不成立；当 ｎ ＝４时，２４＜（４＋１）２，不等式不成立；当 ｎ＝５ 时，２５＜（５＋１）２，不等式不成立；当 ｎ＝６时， ２６＞（６＋１）２，不等式成立．所以用数学归纳法 证明不等式２ｎ＞（ｎ＋１）２（ｎ∈Ｎ）时，初始值 ｎ０ 应等于６．故答案为６． 用数学归纳法证明不等式 １ ｎ＋１＋ １ ｎ＋２＋… ＋ １ｎ＋ｎ＞ １３ ２４（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ）的过程中，由 ｎ＝ｋ递推到ｎ＝ｋ＋１时，不等式左边增加 了 （　　） 　　　　 　 　　　　　　Ａ． １２（ｋ＋１） Ｂ． １ ２ｋ＋１＋ １ ２ｋ＋２ Ｃ． １２ｋ＋１－ １ ｋ＋１ Ｄ． １ ２ｋ＋１－ １ ２ｋ＋２ 当 ｎ＝ｋ时，左端 ＝ １ｋ＋１＋ １ ｋ＋２＋… ＋ １ ｋ＋ｋ，那么当ｎ＝ｋ＋１时左端 ＝ １ ｋ＋２＋ １ ｋ＋３… ＋ １ ｋ＋ｋ＋ １ ２ｋ＋１＋ １ ２ｋ＋２，故由 ｋ到 ｋ＋１时不等式 左端的变化是增加了 １ ２ｋ＋１， １ ２ｋ＋２两项，同时减 少了 １ ｋ＋１这一项，即 １ ２ｋ＋１＋ １ ２ｋ＋２－ １ ｋ＋１＝ １ ２ｋ＋１－ １ ２ｋ＋２，故选Ｄ． 用数学归纳法证明等式（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ ＋３）……（ｎ＋ｎ）＝２ｎ·１·３·…·（２ｎ－ １），其中ｎ∈Ｎ，ｎ≥１，从ｎ＝ｋ到ｎ＝ｋ                                ＋ !"#$%$& ■■ ６３　 ■ １时，等式左边需要增乘的代数式为 （　　） Ａ．２ｋ＋２ Ｂ．（２ｋ＋１）（２ｋ＋２） Ｃ．２ｋ＋１ｋ＋１ Ｄ． （２ｋ＋１）（２ｋ＋２） ｋ＋１ 当ｎ＝ｋ时，式子左边＝（ｋ＋１）（ｋ＋２）…（ｋ ＋ｋ），最后一项为２ｋ，当ｎ＝ｋ＋１时，式子左边＝ （ｋ＋１＋１）（ｋ＋１＋２）…（ｋ＋１＋ｋ）（ｋ＋１＋ｋ＋１）， 最后一项变为 ２ｋ＋２，故增乘的代数式为 （ｋ＋１＋ｋ）（ｋ＋１＋ｋ＋１） ｋ＋１ ＝ （２ｋ＋１）（２ｋ＋２） ｋ＋１ ．故 选Ｄ． 已知ｎ为正偶数，用数学归纳法证明１－ １ ２＋ １ ３－ １ ４＋…＋ １ ｎ－１＞２ １ ｎ＋２＋ １ ｎ＋４( ＋ …＋１２ )ｎ时，若已假设ｎ＝ｋ（ｋ≥２，且ｋ为 偶数）时等式成立，则还需利用假设再证 （　　） Ａ．ｎ＝ｋ＋１时不等式成立 Ｂ．ｎ＝ｋ＋２时不等式成立 Ｃ．ｎ＝２ｋ＋２时不等式成立 Ｄ．ｎ＝２（ｋ＋２）时不等式成立 ｎ为正偶数，用数学归纳法证明１－１２＋ １ ３－ １ ４＋… ＋ １ ｎ－１＞２ １ ｎ＋２＋ １ ｎ＋４＋…＋ １ ２( )ｎ时， 若已假设ｎ＝ｋ（ｋ≥２，且ｋ为偶数）时等式成立， 则还需利用假设再证ｎ＝ｋ＋２成立．故选Ｂ． +"a#wxy\z{K3 １．看结构 （１）看等式两边的构成规律，等式的两边各 有多少项，项的多少与 ｎ的取值是否有关， 从ｎ＝ｋ到ｎ＝ｋ＋１，等式两边会增加多少项； ２．配凑项 （１）凑假设：将ｎ＝ｋ＋１时的式子转化成与归 纳假设的结构相同的式子； （２）凑结构：然后利用归纳假设，经过恒等 变形，得到结论所需的结构形式． 用数学归纳法证明：（ｎ＋１）（ｎ＋２）…