专题3 等比数列-【老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列3

■ １８　 ■  ３03!" ,+/-4*&'()*+ !"K^#$,)* １．定义：一般地，如果一个数列从第二项起， 每一项与它的前一项的比都等于同一个常数， 那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做 等比数列的公比，通常用字母ｑ表示（ｑ≠０）． ２．递推公式形式的定义： ａｎ ａｎ－１ ＝ｑ（ｎ∈Ｎ且ｎ≥ ２） ａｎ＋１ ａｎ ＝ｑ，ｎ∈Ｎ( ) ． +"K^M1 如果在ａ与ｂ中间插入一个数 Ｇ，使 ａ，Ｇ， ｂ成等比数列，那么 Ｇ叫做 ａ与 ｂ的等比中项， 此时，Ｇ２＝ａｂ． 注：①并非任何两数总有等比中项．仅当实 数ａ，ｂ同号，即ａｂ＞０时，实数ａ，ｂ存在等比 中项．对同号两实数ａ，ｂ的等比中项不仅存在， 而且有一对互为相反数的等比中项 Ｇ＝±槡ａｂ． 也就是说，两实数要么没有等比中项（非同号 时），如果有，必有一对（同号时）．在遇到三数 或四数成等比数列时，常优先考虑选用“中项关 系”转化求解． ②Ｇ２＝ａｂ是 ａ、Ｇ、ｂ成等比数列的必要不 充分条件． /"K^#$,0123 若等比数列｛ａｎ｝的首项为 ａ１，公比为 ｑ，则 ａｎ＝ａ１·ｑ ｎ－１（ｎ∈Ｎ）． 4"N5#OPQK^#$RRK^#$6_#5# １．等比数列的图象 对于等比数列｛ａｎ｝，通项公式 ａｎ＝ａ１ｑ ｎ－１＝ ａ１ ｑ·ｑ ｎ．当ｑ≠１且 ａ１≠１时，它们都是一个 非零常数ｃｃ＝ ａ１( )ｑ与指数函数 ｙ＝ｑｘ的乘积： ｙ＝ｃｑｘ． 由指数函数ｙ＝ｑｘ的图象可以得出 ｙ＝ｃｑｘ的图 象，而ｙ＝ｃｑｘ的图象上横坐标为正整数 ｎ的 孤立点（ｎ，ａｎ）组成如下图等比数列的图象． 当等比数列的公比ｑ＝１时等比数列的各项都 为常数ａ１，其图象是一系列从左至右呈水平 状的孤立点． ２．等比数列的单调性 （１）已知等比数列｛ａｎ｝的首项为 ａ１，公比为 ｑ，则 ①当 ａ１＞０ ｑ{ ＞１或 ａ１＜０ ０＜ｑ{ ＜１时，｛ａｎ｝是递增数列； ②当 ａ１＞０ ０＜ｑ{ ＜１或 ａ１＜０ ｑ{ ＞１时，｛ａｎ｝是递减数列； ③当ｑ＝１时，｛ａｎ｝为常数列（ａｎ≠０）． （２）对于等比数列｛ａｎ｝，借助函数 ｙ＝ｃｑ ｎ的 性质，可分析等比数列｛ａｎ｝的增减性如下表： ａ１ ａ１＞０ ａ１＜０ ｑ的范围 ０＜ｑ ＜１ ｑ＝１ ｑ＞１ ０＜ｑ ＜１ ｑ＝１ ｑ＞１ 数列｛ａｎ｝ 的增减性 递减 数列 常数列 递增 数列 递增 数列 常数列 递减 数列 （３）等比数列｛ａｎ｝，当公比 ｑ＜０时，是摆动 数列，既不递增也不递减，所有的奇数项（                                  偶 !"#$%$& ■■ １９　 ■ 数项）同号，奇数项与偶数项异号，反映在图 象上是一系列上下波动的孤立的点（如图） 注：常数列不一定是等比数列，只有非零常 数列才是公比为１的等比数列． 8"K^#$0123,GVBTU １．通项公式变形 等比数列｛ａｎ｝的公比为ｑ，则 ①ｑｎ－ｍ ＝ ａｎ ａｍ ，可用来由等比数列任两项求 公比． ②ａｎ＝ａｍ·ｑ ｎ－ｍ，可以用来利用任一项及公 比直接得到通项公式，不必求ａ１． 证明：因为ａｎ＝ａ１·ｑ ｎ－１，ａｍ＝ａ１·ｑ ｍ－１，所 以 ａｎ ａｍ ＝ ａ１·ｑ ｎ－１ ａ１·ｑ ｍ－１＝ｑ ｎ－ｍ，所以ａｎ＝ａｍ·ｑ ｎ－ｍ． 由上可知，等比数列的通项公式可以用数列 中的任一项与公比来表示，通项公式 ａｎ＝ａ１ ·ｑｎ－１（ｎ∈Ｎ，ａ１·ｑ≠０）可以看成是 ｍ＝１ 时的特殊情况． ③ｑｎ－１＝ ａｎ ａ１ ，已知首项，末项，公比即可计 算出项数． ２．基本量法 （１）等比数列可以由首项 ａ１和公比 ｑ确定， 我们把ａ１和ｑ称为基本量，所有关于等比数列 的计算和证明，都可围绕ａ１和ｑ进行．在基本 量法中，不拘泥于ａ１，有ａｍ可以直接用ａｍ． 解题时没有思路了，可以回归基本量法． （２）求等比数列的通项公式的两种思路： ①设出基本量 ａ１、ｑ，利用条件构建方程组， 通过两式相除法或者代入消元法求出 ａ１，ｑ， 即可写出等比数列 ａ{ }ｎ 的通项公式； ②已知等比数列中的两项 ａｎ，ａｍ（ｎ，ｍ∈ Ｎ，ｎ≠ｍ）时，则 ａｎ＝ａ１ｑ ｎ－１ ａｍ＝ａ１ｑ ｍ{ －１ａｎａｍ＝ｑｎ－ｍ可 不必求 ａ１而直接写出等比数列｛ａｎ｝的通项 公式． ③设项技巧———对称设项 （ⅰ）三个数成等比数列可设为： ａｑ，ａ，ａｑ 或ａ，ａｑ，ａｑ２； （ⅱ）四个数成等比数列可设为： ａ ｑ３ ， ａ ｑ， ａｑ，ａｑ３或ａ，ａｑ，ａｑ２，ａｑ３． （２０２２·乙卷理）已知等比数列 ａ{ }ｎ 的前３ 项和为１６８，ａ２－ａ５＝４２，则ａ６＝（　　）