专题2 等差数列-【老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列3

■■ ９　 ■ ２01!" ,+/-2'.&'()*+ !"KL#$,)* １．定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项 与它的前一项的差都等于同一个常数，即 ａｎ＋１－ａｎ＝ｄ或者 ａｎ－ａｎ－１＝ｄ（ｎ≥２），那么 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等 差数列的公差，公差通常用字母 ｄ表示，公 差可正可负可为零． ２．递推公式形式的定义：ａｎ－ａｎ－１＝ｄ（ｎ∈Ｎ 且ｎ≥２）或者ａｎ＋１－ａｎ＝ｄ． +"KLM1,)* 由三个数ａ，Ａ，ｂ组成的等差数列可以看成 是最简单的等差数列．这时，Ａ叫做 ａ与 ｂ的等 差中项，２Ａ＝ａ＋ｂ． ①两个数的等差中项就是两个数的算术平均 数，任意两实数ａ，ｂ的等差中项存在且唯一； ②三个数ａ，Ａ，ｂ成等差数列的充要条件是 Ａ＝ａ＋ｂ２ ． /"KL#$,0123 首项为 ａ１，公差为 ｄ的等差数列｛ａｎ｝的通 项公式ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ． 4"N5#OPQKL#$RRKL#$6!S5# 由等差数列的通项公式 ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ， 可得ａｎ＝ｄｎ＋（ａ１－ｄ）． 当ｄ≠０时，ａｎ＝ｄｎ＋ｂ是ｎ的一次函数，一 次项系数是等差数列的公差 ｄ，它的图象是在直 线ｙ＝ｄｘ＋ｂ上均匀排列的一群孤立的点． （１）当ｄ＞０时数列｛ａｎ｝为递增数列； （２）当ｄ＜０时数列｛ａｎ｝为递减数列； （３）当ｄ＝０时，ａｎ＝ａ１，等差数列为常数列， 此时数列的图象是平行于ｘ轴的直线（或ｘ轴）上均 匀分布的一群孤立的点． 从图象上看（如下图），表示数列｛ａｎ｝的各 点，即点（ｎ，ａｎ），均匀分布在一条直线上． 8"KL#$0123,TU%GV １．公式变形 设等差数列｛ａｎ｝的首项为ａ１，公差为ｄ，则 ①ｄ＝ ａｎ－ａｍ ｎ－ｍ（ｍ，ｎ∈Ｎ ，且 ｍ≠ｎ），可用 来由等差数列任两项求公差． ②ａｎ＝ａｍ＋（ｎ－ｍ）ｄ（ｍ，ｎ∈Ｎ），可以用 来利用任一项及公差直接得到通项公式，不 必求ａ１． 证明：因为ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ，ａｍ＝ａ１＋（ｍ－ １）ｄ，所以ａｎ－ａｍ＝［ａ１＋（ｎ－１）ｄ］－［ａ１＋（ｍ －１）ｄ］＝（ｎ－ｍ）ｄ，所以ａｎ＝ａｍ＋（ｎ－ｍ）ｄ． 由上可知，等差数列的通项公式可以用数列 中的任一项与公差来表示，公式 ａｎ＝ａ１＋（ｎ －１）ｄ可以看成是ｍ＝１时的特殊情况． ③ｎ＝ ａｎ－ａ１ ｄ ＋１，已知首项，末项，公差即 可计算出项数． ２．基本量法 （１）等差数列可以由首项 ａ１和公差 ｄ确定                                ， ■ １０　 ■  我们把ａ１和ｄ称为基本量，所有关于等差数 列的计算和证明，都可围绕 ａ１和 ｄ进行．在 基本量法中，不拘泥于 ａ１，有 ａｍ 可直接 用ａｍ． 解题时没有思路了，可以回归基本量法． （２）求等差数列的通项公式的两种思路： ①设出基本量 ａ１，ｄ，利用条件构建方程组， 通过加减消元法或代入消元法求出 ａ１，ｄ， 即可写出等差数列 ａ{ }ｎ 的通项公式； ②已知等差数列中的两项 ａｎ，ａｍ（ｎ，ｍ∈ Ｎ，ｎ≠ ｍ）时，则 ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ ａｍ＝ａ１＋（ｍ－１）{ ｄ ｄ＝ ａｍ－ａｎ ｍ－ｎ ａｎ＝ａｍ＋（ｎ－ｍ） { ｄ，可不必求 ａ１而直接写 出等差数列｛ａｎ｝的通项公式． ③设项技巧———对称设项 （ⅰ）三个数成等差数列可设为：ａ－ｄ，ａ，ａ ＋ｄ或ａ，ａ＋ｄ，ａ＋２ｄ； （ⅱ）四个数成等差数列可设为：ａ－３ｄ，ａ－ ｄ，ａ＋ｄ，ａ＋３ｄ或 ａ，ａ＋ｄ，ａ＋２ｄ，ａ ＋３ｄ． 等差数列 ａ{ }ｎ 中，ａ１５＝８，ａ６０＝２０，则ａ７５ ＝ （　　） 　 　　　　 　　　　　 　　Ａ．３６ Ｂ．１２ Ｃ．３８ Ｄ．２４ 设等差数列 ａ{ }ｎ 的公差为 ｄ，则４５ｄ＝ａ６０ －ａ１５＝２０－８＝１２，即１５ｄ＝４，故ａ７５＝ａ６０＋１５ｄ ＝２０＋４＝２４．故选Ｄ． 设ａ，ｂ，ｃ分别是△ＡＢＣ内角Ａ，Ｂ，Ｃ的 对边，若 １ ｔａｎＡ， １ ｔａｎＢ， １ ｔａｎＣ依次成公差不 为０的等差数列，则 （　　） Ａ．ａ，ｂ，ｃ依次成等差数列 Ｂ．ａ２，ｂ２，ｃ２依次成等差数列 Ｃ．槡ａ，槡ｂ，槡ｃ依次成等差数列 Ｄ．１ａ， １ ｂ， １ ｃ依次成等差数列 因为 １ ｔａｎＡ， １ ｔａｎＢ， １ ｔａｎＣ依次成公差不为 ０ 的等差数列，所以 ２ ｔａｎＢ＝ １ ｔａｎＡ＋ １ ｔａｎＣ，所以 ２ｃｏｓＢ ｓｉｎＢ ＝ ｃｏｓＡｓｉｎＡ ＋ ｃｏｓＣ ｓｉｎＣ， 因 为 ｃｏｓＡ ｓｉｎＡ ＋ ｃｏｓＣ ｓｉｎＣ ＝ ｓｉｎＣｃｏｓＡ＋ｃｏｓＣｓｉｎＡ ｓｉｎＡｓｉｎＣ ＝ ｓｉｎ（Ａ＋Ｃ） ｓｉｎＡｓｉｎＣ ＝ ｓｉｎＢ