专题18 事件的相互独立性-【老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列2

■ １９２　 ■  １８‹Œ%Žw‘ 96+4+/,230+/,-67271+0+,- !".ìòîèœ%&' 对任意两个事件 Ａ与 Ｂ，如果 Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ） Ｐ（Ｂ）成立，则称事件 Ａ与事件 Ｂ相互独立，简 称独立． (".ìòîèœ%¼½ 如果事件Ａ与Ｂ相互独立，那么Ａ与Ｂ，Ａ与Ｂ， Ａ与Ｂ也都相互独立． 判断下列事件是否为相互独立事件． （１）甲组３名男生，２名女生；乙组２名 男生，３名女生，现从甲、乙两组各 选１名同学参加演讲比赛，“从甲组 中选出１名男生”与“从乙组中选出１ 名女生”． （２）容器内盛有５个白乒乓球和３个黄乒 乓球，“从８个球中任意取出１个，取 出的是白球”与“从剩下的７个球中任 意取出１个，取出的还是白球”． （１）“从甲组中选出１名男生”这一事件是 否发生，对“从乙组中选出１名女生”这一事件 是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件． （２）“从８个球中任意取出１个，取出的是白球” 的概率为 ５ ８，若这一事件发生了，则“从剩下的 ７个球中任意取出１个，取出的仍是白球”的概 率为 ４ ７；若前一事件没有发生，则后一事件发生 的概率为 ５ ７，可见，前一事件是否发生，对后一 事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立 事件． （２０２２·秀屿区月考）下列说法正确的个数 有 （　　） （１）掷一枚质地均匀的骰子一次，事件 Ｍ ＝“出现偶数点”，Ｎ＝“出现３点或６ 点”．则Ｍ和Ｎ相互独立； （２）袋中有大小质地相同的３个白球和１ 个红球．依次不放回取出２个球，则 “两球同色”的概率是 １ ３； （３）甲乙两名射击运动员进行射击比赛， 甲的中靶率为 ０８，乙的中靶率为 ０９，则 “至少一人中靶”的概率 为０９８； （４）柜子里有三双不同的鞋，如果从中随 机地取出 ２只，那么“取出地鞋不成 双”的概率是 ４ ５． 　 　　　　 　　　　　 　　Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 对于（１），掷一枚质地均匀的骰子一次， Ｐ（Ｍ）＝３６＝ １ ２，Ｐ（Ｎ）＝ ２ ６＝ １ ３，Ｐ（ＭＮ）＝ １ ６， 则Ｐ（ＭＮ）＝Ｐ（Ｍ）Ｐ（Ｎ），则事件 Ｍ，Ｎ相互独 立，故（１）正确； 对于（２），袋中有大小质地相同的３个白球和１ 个红球，依次不放回取出 ２个球，若“两球同 色”，则都是白球，则“两球同色”的概率是 ３ ４× ２ ３＝ １ ２，故（２）错误； 对于（３），至少有一人中靶的概率为Ｐ＝１－（１－ ０９）（１－０８）＝０９８，故（３）正确； 对于（４），柜子里有三双不同的鞋，如果从中随 机地取出２只，共有６×５２ ＝１５种，                                取出的鞋成 !6#$7$8 ■■ １９３　 ■ 双的只有３种，那么取出的鞋不成双有１５－３＝ １２种，故取出的鞋不成双的概率为 Ｐ＝１２１５＝ ４ ５， 故（４）正确．故选Ｃ． （２０２１·新高考Ⅰ）有６个相同的球，分别 标有数字１，２，３，４，５，６，从中有放回 地随机取两次，每次取１个球．甲表示事 件“第一次取出的球的数字是１”，乙表示 事件“第二次取出的球的数字是２”，丙表 示事件“两次取出的球的数字之和是８”， 丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 ７”，则 （　　） Ａ．甲与丙相互独立 Ｂ．甲与丁相互独立 Ｃ．乙与丙相互独立 Ｄ．丙与丁相互独立 由题意可知，两点数和为 ８的所有可能 为：（２，６），（３，５），（４，４），（５，３），（６， ２），两点数和为 ７的所有可能为（１，６），（２， ５），（３，４），（４，３），（５，２），（６，１）， Ｐ（甲）＝１６，Ｐ（乙）＝ １ ６，Ｐ（丙）＝ ５ ６×６＝ ５ ３６， Ｐ（丁）＝ ６６×６＝ １ ６，Ａ：Ｐ（甲丙）＝０≠Ｐ（甲） Ｐ（丙），Ｂ：Ｐ（甲丁）＝１３６＝Ｐ（甲）Ｐ（丁）， Ｃ：Ｐ（乙丙）＝１３６≠Ｐ（乙）Ｐ（丙），Ｄ：Ｐ（丙丁） ＝０≠Ｐ（丙）Ｐ（丁），故选Ｂ． （２０２２·乙卷）某棋手与甲、乙、丙三位棋 手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立． 已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率 分别为ｐ１，ｐ２，ｐ３，且ｐ３＞ｐ２＞ｐ１＞０．记 该棋手连胜两盘的概率为ｐ，则 （　　） Ａ．ｐ与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序 无关 Ｂ．该棋手在第二盘与甲比赛，ｐ最大 Ｃ．该棋手在第二盘与乙比赛，ｐ最大 Ｄ．该棋手在第二盘与丙比赛，ｐ最大 Ａ选项，已知棋手与甲、乙、丙比赛获胜 的概率不相等，所以 Ｐ受比赛次序影响，故 Ａ 错误； 设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为Ｐ甲， 棋手在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为 Ｐ乙， 棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为 Ｐ丙， Ｐ甲 ＝ｐ１ ｐ２ １－ｐ(