专题1 数列的概念-【老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列3

书 ■■ １　 ■ １!"#$% &'()*+,+-.*/*./ !"#$%&'()* １．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列 数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数 列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个 数列的第１项，常用符号 ａ１表示，第１项也 叫做首项；第二个位置上的数叫做这个数列 的第２项，用ａ２表示；……；第 ｎ个位置上 的数叫做这个数列的第ｎ项，用ａｎ表示．类 比函数中的定义域，容易得到数列中项的下 角标ｎ∈Ｎ． ２．数列的一般形式可以写成 ａ１，ａ２，ａ３，…， ａｎ，…，简记为 ａ}{ ｎ ． +"#$,-. 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 /"#$,0123 １．如果数列｛ａｎ｝的第ｎ项 ａｎ与它的序号 ｎ之间 的对应关系可以用一个式子ａｎ＝ｆ（ｎ）来表示， 那么这个式子叫做这个数列的通项公式．有 的数列不止有一个通项公式（可类比相同函 数），例如； ０，１，０，１ }{ ，… ，这个数列 中的项是０与１交替出现，奇数项都是０，偶 数项都是 １，所以通项公式可以写成 ａｎ＝ ０，ｎ为奇数 １，ｎ{ 为偶数，也可以写成 ａｎ＝１＋（－１） ｎ ２ （ｎ∈Ｎ）或ａｎ＝ １＋ｃｏｓｎπ ２ （ｎ∈Ｎ ）．有的数 列没有通项公式，比如无理数 ｅ和 π中的数 依次排成的数列． ２．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们 学过的函数的自变量通常是连续变化的，而 数列是自变量为离散的数的函数． 写出下面数列的一个通项公式，使它的前 几项分别是下列各数： （１）４，６，８，１０，…； （２）１，３，６，１０，１５，…； （３）２３， ４ １５， ６ ３５， ８ ６３， １０ ９９，…； （４）２，３，５，９，１７，３３，…； （５）３，０，－３，０，３，０，－３，０，…； （６）８，８８，８８８，８８８８，…； （１）从第二项开始，后一项跟前一项依次 作差可知，一阶差为定值 ２，故可设通项公式 为：ａｎ＝２ｎ＋ｂ，代入（１，４）得２＋ｂ＝４，于是ｂ ＝２，故ａｎ＝２ｎ＋４； （２）从第二项开始，后一项跟前一项依次作差可 知，二阶差为定值１，故可设通项公式为：ａｎ＝ １ ２ｎ ２ ＋ｂｎ＋ｃ，代 入 （１，１）和 （２，３）得 １ ２＋ｂ＋ｃ＝１ ２＋２ｂ＋ｃ{ ＝３，解得 ｂ＝ １ ２ ｃ{ ＝０，故ａｎ＝ｎ２＋ｎ２ ； （３）２３， ４ １５， ６ ３５， ８ ６３， １０ ９９，…的分子为２ｎ，分母 为（２ｎ）２－１＝４ｎ２－１，故数列ａｎ＝ ２ｎ ４ｎ２－１ （ｎ∈Ｎ）． （４）通过观察可把原数列每项减去１得到：１，２， ４，８，１６，３２，…，故通项公式为ａｎ＝２ ｎ－１＋１． （５）３，０， －３，０，３，０， －３，０，…，则数列 的奇数项分别为：３，－３，３，－３，…，偶数项 分别为：０，０，０，０，…，                                故该数列的通项公式 ■ ２　 ■  为ａｎ＝ （－１） ｎ－１ ２·３，ｎ＝２ｋ－１（ｋ∈Ｎ） ０，ｎ＝２ｋ（ｋ∈Ｎ{ ） ． （６）８，８８，８８８，８８８８，…等价于８９×（１０－１）， ８ ９×（１０ ２－１），８９×（１０ ３－１），８９×（１０ ４－１）， …，则ａｎ＝ ８ ９×（１０ ｎ－１）（ｎ∈Ｎ）． （２０２２秋·西青区校级期末）－４０１是数列 －５，－９，－１３，－１７中的第几项 （　　） 　 　　　　 　　　　　 　　Ａ．第９８项 Ｂ．第９９项 Ｃ．第１００项 Ｄ．第１０１项 根据题意，数列 －５， －９， －１３， －１７ 的通项公式为ａｎ＝－（４ｎ＋１），若 ａｎ＝－（４ｎ＋ １）＝－４０１，解可得 ｎ＝１００，即 －４０１是数列的 第１００项，故选Ｃ． 4"5#6#$,(7 数列｛ａｎ｝是从正整数集 Ｎ（或它的有限子 集｛１，２，…，ｎ｝）到实数集 Ｒ的函数，其自变 量是序号ｎ，对应的函数值是数列的第 ｎ项 ａｎ， 记为ａｎ＝ｆ（ｎ）． 8"#$,9:;6<=>? 一般地，一个数列｛ａｎ｝，如果从第２项起， 每一项都大于它的前一项，即 ａｎ＋１－ａｎ＞０，那 么这个数列叫做递增数列．如果从第２项起，每 一项都小于它的前一项，即 ａｎ＋１－ａｎ＜０，那么 这个数列叫做递减数列．如果数列｛ａｎ｝的各项都 相等，即 ａｎ＋１－ａｎ＝０，那么这个数列叫做常 数列． １．利用定义法判断数列的单调性 （１）作差比较法，即较ａｎ＋１－ａｎ与０的大小 ａｎ＋１－ａｎ＞０ ａｎ＋１－ａｎ＜０ ａｎ＋１－ａｎ＝０ 单调性 ａ}{ ｎ 是递增 数列 ａ}{ ｎ 是递减 数列 ａ}{ ｎ 是常 数列