专题17 随机事件与概率-【老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列2

■■ １８１　 ■ １７‚ƒ‹Œ?Z 97+4+96+4+/, !"#$012&34/5678 !"ÒÓæç 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机 试验，简称试验，常用字母Ｅ表示． 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： （１）试验可以在相同条件下重复进行； （２）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不 止一个； （３）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一 个，但事先不能确定出现哪一个结果． ("ÑW´µ 我们把随机试验Ｅ的每个可能的基本结果称为样 本点，全体样本点的集合称为试验 Ｅ的样本空 间，一般地，用 Ω表示样本空间，用 ω表示样 本点，如果一个随机试验有 ｎ个可能结果 ω１， ω２，…，ωｎ，则称样本空间 Ω＝｛ω１，ω２，…， ωｎ｝为有限样本空间． 写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法 （１）列举法：适用样本点个数不是很多，可以把 样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一 定的顺序，要做到不重不漏． （２）列表法：适用于试验中包含两个或两个以上 的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求 解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也 可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易 遗漏． （３）树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探 求，一般需要分步（两步及两步以上）完成的结 果可以用树状图进行列举． （２０２２·莆田期末）关于样本点、样本空 间，下列说法错误的是 （　　） Ａ．样本点是构成样本空间的元素 Ｂ．样本点是构成随机事件的元素 Ｃ．随机事件是样本空间的子集 Ｄ．随机事件中样本点的个数可能比样本 空间中的多 由定义知 Ａ，Ｂ，Ｃ均正确．因为随机事 件是样本空间的子集，所以由子集的定义可知Ｄ 错．故选Ｄ． （２０２３·工农区月考）将一枚骰子先后抛掷 两次，若先后出现的点数分别为ｂ，ｃ，则 方程ｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０有实数根的样本点个数 为 （　　） 　 　　 　 　　　 　 　Ａ．１７ Ｂ．１８ Ｃ．１９ Ｄ．２０ 一枚骰子先后抛掷两次，样本点一共有 ３６个；方程有实数根，需满足ｂ２－４ｃ≥０； 样本点中满足此条件的有（２，１）、（３，１）、（３， ２）、（４，１）、（４，２）、（４，３）、（４，４）、（５， １）、（５，２）、（５，３）、（５，４）、（５，５）、（５， ６）、（６，１）、（６，２）、（６，３）、（６，４）、（６， ５）、（６，６），共１９个，故选Ｃ． （２０２２·汶上县月考）做抛掷红、蓝两枚骰 子的试验，用（ｘ，ｙ）表示结果，其中 ｘ表 示红色骰子出现的点数，ｙ表示蓝色骰子 出现的点数．写出： （１）这个试验的样本空间； （２）这个试验的结果的个数                             ； ■ １８２　 ■  （３）指出事件Ａ＝｛（１，６），（２，５），（３， ４），（４，３），（５，２），（６，１）｝的 含义． （１）样本空间 Ω＝｛（１，１），（１，２）， （１，３），（１，４），（１，５），（１，６），（２，１）， （２，２），（２，３），（２，４），（２，５），（２，６）， （３，１），（３，２），（３，３），（３，４），（３，５）， （３，６），（４，１），（４，２），（４，３），（４，４）， （４，５），（４，６），（５，１），（５，２），（５，３）， （５，４），（５，５），（５，６），（６，１），（６，２）， （６，３），（６，４），（６，５），（６，６）｝； （２）由（１）知，这个试验的结果的个数共有 ３６个； （３）由１＋６＝２＋５＝３＋４＝４＋３＝５＋２＝６＋１＝ ７，可知事件 Ａ表示抛掷红、蓝两枚骰子，掷出 的点数之和为７． （２０２３·罗湖区期末）如图，一个电路中有 Ａ，Ｂ，Ｃ三个电器元件，每个元件可能正 常，也可能失效，把这个电路是否为通路 看成是一个随机现象，观察这个电路中各 元件是否正常． （１）写出试验的样本空间； （２）用集合表示下列事件： Ｍ＝“恰好两个元件正常”；Ｎ＝“电路是 通路”；Ｔ＝“电路是断路”． 分别用 ｘ１，ｘ２和 ｘ３表示元件 Ａ，Ｂ和 Ｃ 的可能状态，则这个电路的工作状态可用（ｘ１， ｘ２，ｘ３）表示，用１表示元件的“正常”状态，用０ 表示“失效”状态． （１）则样本空间 Ω＝｛（０，０，０），（１，０，０）， （０，１，０），（０，０，１），（１，１，０），（１，０， １），（０，１，１），（１，１，１）｝； （２）“恰好两个元件正常”等价于（ｘ１，ｘ２，ｘ３）∈ Ω，且 ｘ１，ｘ２，ｘ３中恰有两个为 １，所以 Ｍ＝ ｛（１，１，０），（１，０，１），（０，１，１）｝．“电路 是通路”等价于（ｘ１，ｘ２，ｘ３）∈Ω，ｘ１＝１，且ｘ２， ｘ３中至少