专题14 立体几何与空间向量-【老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列2

■■ １４５　 ■ １４wfde?lm#$ 1+k+4+63B7vL,-4+/,0+/,-1+/,- !"´µ#$%—˜&' １．空间向量的概念及其长度：与平面向量一样， 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向 量，空间向量的大小叫做空间向量的长度 或模． ２．空间向量的表示：与平面向量一样，空间向 量也有两种表示法．一种用 ａ，ｂ，ｃ表示； 一种用有向线段表示，有向线段的长度表示 空间向量的模．如图所示，向量 ａ的起点是 Ａ，终点是Ｂ，则向量ａ也可以记作ＡＢ!，其模 记为 ａ或 ＡＢ! ． ３．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为０的向量叫做零向量，记为０ 单位向量 模为１的向量称为单位向量 相反向量 与向量ａ长度相等而方向相反的向量， 称为ａ的相反向量，记为－ａ 共线向量 （平行向量） 如果表示若干空间向量的有向线段所在 的直线互相平行或重合，那么这些向量 叫做共线向量或平行向量．规定：对于 任意向量ａ，都有０∥ａ 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 基底 可以表示向量ａ的三个非零且不共面的 向量ｅ１，ｅ２，ｅ３称为向量基底，表示为 ａ＝ｘｅ１＋ｙｅ２＋ｚｅ３ 注：（１）单位向量、零向量都只规定了向量的模 而没有规定方向．需注意单位向量有无数个，它 们的方向并不确定，因此，它们不一定相等；零 向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定 所有的零向量都相等． （２）共线向量不具有传递性，如ａ∥ｂ，ｂ∥ｃ，但 ａ∥ｃ不一定成立，因为当 ｂ＝０时，虽然 ａ∥ｂ， ｂ∥ｃ，但ａ不一定与ｃ共线． ("´µ#$%2¼:; １．空间向量的线性运算 （１）向量的加减运算法则 已知空间向量ａ，ｂ，以任意点Ｏ为起点，作 向量ＯＡ! ＝ａ，ＯＢ! ＝ｂ，可以把它们平移到同一 个平面α内，如图所示． ①三角形法则：如图 １，平移ＯＡ!至Ｏ′Ａ′! ，点 Ｏ′与Ｂ重合，则ＯＡ′! ＝ＯＢ! ＋ＢＡ′!，即ＯＡ′! ＝ａ＋ ｂ．如图２，在△ＯＡＢ中，边 ＡＢ对应的向量 ＡＢ! ＝ＯＢ! －ＯＡ! ＝ｂ－ａ，ＢＡ! ＝ＯＡ! －ＯＢ! ＝ａ－ｂ 图１ 　　 图２ ②平行四边形法则：如图 ３，以 ＯＡ，ＯＢ为 邻边作平行四边形 ＯＢＡ′Ａ，则ＯＡ′! ＝ＯＢ! ＋ＯＡ! ＝ａ＋ｂ，ＡＢ! ＝ＯＢ! －ＯＡ! ＝ｂ－ａ． 图３ （２）空间向量数乘的定义 与平面向量一样，实数 λ与空间向量 ａ                                的乘 ■ １４６　 ■  积λａ仍然是一个向量，称为向量的数乘． 如图４，设ＯＡ! ＝ａ，当 λ＞０时，λａ＝λＯＡ! ＝ ＰＱ!，与 ａ的方向相同；当 λ＜０时，λａ＝ λＯＡ! ＝ＭＮ!，与 ａ的方向相反；当 λ＝０时， λａ＝０，λａ的长度是ａ的长度的 λ倍． 　 　 图１ 注：（１）空间向量的数乘结果仍是一个向量，且 与原向量平行．数乘既可以实现向量ａ的模扩大 和缩小，也可以实现向量 ａ的方向改变和不 改变． （２）注意实数与向量可以进行乘积运算，但不能 进行加减运算，如λ＋ａ，λ－ａ都无意义． （３）注意实数与向量的乘积的特殊情况： 当λ＝０时，λａ＝０； 当λ≠０时，若ａ＝０，则λａ＝０． ２．空间向量的线性运算满足的运算律（其中 λ， μ∈Ｒ） ①交换律：ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ； ②结合律：ａ＋（ｂ＋ｃ）＋（ａ＋ｂ）＋ｃ，λ（μａ） ＝（λμ）ａ； ③分配律：（λ＋μ）ａ＝λａ＋μａ，λ（ａ＋ｂ）＝ λａ＋λｂ． （多选）下列说法错误的是 （　　） Ａ．若 ａ＜ ｂ，则ａ＜ｂ Ｂ．若ａ与ｂ互为相反向量，则ａ＋ｂ＝０ Ｃ．单位向量的模不一定相等 Ｄ．在四边形 ＡＢＣＤ中，一定有ＡＢ! －ＡＤ! ＝ＤＢ! 对于选项Ａ，向量不能比较大小，即选项 Ａ错误； 对于选项Ｂ，ａ与ｂ互为相反向量，则ａ＋ｂ＝０， 即选项Ｂ正确； 对于选项Ｃ，单位向量的模为１，即选项Ｃ错误； 对于选项Ｄ，由向量的减法运算，ＡＢ! －ＡＤ! ＝ＤＢ!， 即选项Ｄ正确，故选ＡＣ． （石嘴山校级一模）如图，在三棱锥 Ｓ－ ＡＢＣ中，点Ｅ，Ｆ分别是ＳＡ，ＢＣ的中点， 点Ｇ在棱ＥＦ上，且满足ＥＧＧＦ＝ １ ２，若ＳＡ ! ＝ ａ，ＳＢ! ＝ｂ，ＳＣ! ＝ｃ，则ＳＧ! ＝ （　　） Ａ．１３ａ－ １ ２ｂ＋ １ ６ｃ Ｂ．１３ａ＋ １ ６ｂ＋ １ ６ｃ Ｃ．１６ａ－ １ ３ｂ＋ １ ２ｃ Ｄ．１３ａ－ １ ６ｂ＋ １ ２ｃ 因为ＳＧ! ＝ＳＥ! ＋ＥＧ! ＝１２ＳＡ ! ＋１３ＥＦ ! ＝１２ＳＡ ! ＋ １ ３（ＥＳ ! ＋ＳＣ! ＋ＣＦ!）＝１２ＳＡ ! ＋１６ＡＳ ! ＋１３ＳＣ ! ＋ １ ６ＣＢ ! ＝１３ＳＡ ! ＋１３ＳＣ ! ＋１６（ＣＳ