专题12 立体几何中的距离问题-【老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列2

■ １３０　 ■  １２wfden%}~tu 1+k+4+6386L,-23471+X3,k+ !"’“cdCÁÂÁ 空间的距离共分六类： 点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面 到面；后两类均为平行状态下的计算，可以统一 为点到面的距离，本节不做赘述．空间中的距离 问题不但能解决长度问题，也能解决体积、夹角 问题． （１）墙角体顶点到底面的距离为 ｈ，墙角的三侧 棱长分别为ａ，ｂ，ｃ则有１ ｈ２ ＝１ ａ２ ＋１ ｂ２ ＋１ ｃ２ （２）设墙角体底面△ＡＢＣ内一点Ｍ到各侧面的距 离分别为ｈ１，ｈ２，ｈ３，则点Ｍ到顶点Ｐ的距离： ｄ＝ ｈ２１＋ｈ ２ ２＋ｈ ２ 槡 ３． 在三棱锥 Ｐ－ＡＢＣ中，∠ＡＰＣ＝∠ＣＰＢ＝ ∠ＢＰＡ＝π２，并且ＰＡ＝ＰＢ＝３，ＰＣ＝４，又 Ｄ是底面ＡＢＣ内一点，则Ｄ到三棱锥三个 侧面的距离的平方和的最小值是　　　　． 墙角问题转化为长方体的对角线长．设 ＰＤ的最小值为 ｈ，三条对角线长分别为 ａ，ｂ， ｃ，则１ ｈ２ ＝１ ａ２ ＋１ ｂ２ ＋１ ｃ２ ． ＰＤ≥ｈ，１ ｈ２ ＝１ ３２ ＋１ ３２ ＋１ ４２ ，所以ｈ２＝１４４４１． （浦东新区校级开学）如图，在直三棱柱 ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中，∠ＢＡＣ＝ π ２，ＡＢ＝ＡＣ＝ ＡＡ１＝１，已知 Ｇ与 Ｅ分别为 Ａ１Ｂ１和 ＣＣ１ 的中点，Ｄ和 Ｆ分别为线段 ＡＣ和 ＡＢ上 的动点（不包括端点），若 ＧＤ⊥ＥＦ，则线 段ＤＦ的长度的平方取值范围为 （　　） 　 　　　　 　　　　　 　　Ａ．（１，槡２） Ｂ． １ ５， １[ )２ Ｃ． １ ５， 槡２( )２ Ｄ． １５，[ )１ 向量坐标法（如图 １）设 Ｄ（０，ｔ，０）， Ｆ（ｍ，０，０）， Ｅ ０，１，１( )２ ， 则 ＤＧ! ＝ １ ２，－ｔ，( )１，ＥＦ! ＝ ｍ，－１，－１( )２ ．又ＤＧ!⊥ ＥＦ!，故２ｔ＋ｍ＝１，ｍ∈（０，１），得ｔ∈ ０，１( )２ ， ＤＦ２＝ｍ２＋ｔ２，２ｔ＋ｍ＝１≤槡５ＤＦ， １ ５≤ＤＦ ２＜１． 故选Ｄ． （浦东新区校级模拟）三棱锥 Ｐ－ＡＢＣ中， 侧棱 ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ两两垂直，底面 ＡＢＣ 内一点Ｍ到三个侧面的距离分别是２、３、 ６，那么ＰＭ＝　　　　． 由点 Ｍ向三个平面 ＰＡＢ，平面 ＰＡＣ，平 面ＰＢＣ作垂线，并且垂足分别为 Ｄ、Ｅ、Ｆ，再 由三点Ｄ、Ｅ、Ｆ分别向所在面的直角边作垂线， 并且垂足分别为：Ｇ，Ｈ，Ｋ，根据长方体的结构 特征可得：点 Ｐ，Ｍ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｋ构成 长方体，并且ＰＭ为长方体的对角线，因为Ｍ到 三个侧面的距离分别是２、３、６，                                所以长方体的 !)#$/012 ■■ １３１　 ■ 三条棱长分别为：ＭＤ＝２、ＭＥ＝３、ＭＦ＝６，所 以ＰＭ＝ ２２＋３２ ＋６槡 ２＝７．故答案为：７． ("’“cdCÁÂ2 如图，ＡＢ垂直于△ＢＣＤ所在的平面，ＡＣ ＝槡１０，ＡＤ＝槡１７，ＢＣ：ＢＤ＝３：４．当 △ＢＣＤ的面积最大时，点 Ａ到直线 ＣＤ的 距离为　　　　． 设 ＢＣ＝３ｋ，ＢＤ＝４ｋ，ＡＣ２－ＣＢ２＝ＡＢ２， ＡＤ２－ＤＢ２＝ＡＢ２，即１０－９ｋ２＝１７－１６ｋ２，７ｋ２＝ ７，ｋ＝１，当△ＢＣＤ的面积最大时∠ＤＢＣ＝９０°， ＢＥ＝１２５．得ＡＥ＝ １３ ５． -"’“cdCÁÂE 点到面的距离通常可以利用等体积法或建系法处 理，在小题中也可借助面面垂直将点到面的距离 转化为点到线的距离，当遇到特殊几何体如墙角 体还可以利用公式： 墙角体顶点到底面的距离为 ｈ，墙角的三侧棱长 分别为ａ，ｂ，ｃ，则有１ ｈ２ ＝１ ａ２ ＋１ ｂ２ ＋１ ｃ２ ． 点Ａ，Ｂ到平面α距离分!为１２，２０，若 斜线ＡＢ与α成３０°的角，则ＡＢ的长等于 　　　　． 易错解为１６．错误原因是只考虑点 Ａ、Ｂ 在平面同侧的情形（如图１）．忽略点 Ａ，Ｂ在平 面两侧的情况（如图２）．【答案】１６或６４． 图１ 　　 图２ 如图 １，在棱长为 ２的正方体 ＡＢＣＤ－ Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｅ为 ＡＢ的中点，则点 Ｂ１ 到平面ＥＡ１Ｃ１的距离为　　　　． 　　　 解法一：如图 ２，设 Ｎ，Ｋ分别为 Ａ１Ｂ１， Ａ１Ｄ１的中点，连结 Ｃ１Ｎ，Ｂ１Ｋ，ＮＥ，ＢＣ１，Ｂ１Ｃ， 因为Ｃ１Ｅ在平面 ＢＢ１Ｃ１Ｃ上的投影为 ＢＣ１，Ｂ１Ｃ ⊥ ＢＣ１，所 以 Ｂ１Ｃ⊥ Ｃ１Ｅ．则 Ｃ１Ｅ 在 平 面 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１上的投影为 Ｃ１Ｎ，因为 Ｂ１Ｋ⊥Ｃ１Ｎ，所 以Ｂ１Ｋ⊥Ｃ１Ｅ．如图３，设 Ｆ为 ＤＤ１的中点，连 接ＫＦ，ＦＣ．知平面Ｂ１ＣＫ⊥Ｃ１Ｅ，即截面 Ｂ１ＣＦＫ 为Ｃ１Ｅ的垂面．所以平面 Ｂ１ＣＦＫ⊥平面 ＥＡ１Ｃ