专题10 空间中的位置关系与夹角问题-【老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列2

■ １０２　 ■  １０lmn%opqr?sFtu vL,-4+/,86L,-23X3+86+-7/,4+B74+/4+/LX3,k+ !"P20P2%¹º˜† 共面直线 平行直线{相交直线 异面直线：不同在任何一个平面内， { 没有公共点 异面直线的公垂线定义：同时和两条异面直线垂 直相交的直线，叫做异面直线的公垂线． ("T»0OP%{68¼½ １．平行的判定 （一）直线与平面平行 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 平面外一条直 线与此平面内 的一条直线平 行，则直线与 此平面平行． ａα ｂα ｂ∥ }ａａ∥α 性质 定理 如果一条直线 和一个平面平 行，经过这条 直线的平面和 这个平面相交， 那么这条直线 就和交线平行． ａ∥α ａβ ａ∩β＝ }ｂａ∥ｂ （二）性质定理与判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面内有 两条相交直线 与另一个平面 平行，则这两 个平面平行 ａα ｂα ａ∩ｂ＝Ｐ ａ∥β ｂ∥      β α∥β 性质 定理 如果两个平行 平面同时与第 三个平面相交， 那么它们的交 线平行 α∥β ａ∩γ＝ａ β∩γ＝ }ｂａ∥ｂ ２．垂直的判定 （一）直线和平面垂直的定义 直线ｌ与平面 α内的任意一条直线都垂直， 就说直线ｌ与平面α互相垂直 （二）直线与平面垂直 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一条直线与平 面内的两条相 交直线都垂直， 则该直线与此 平面垂直 ａ、ｂα ａ∩ｂ＝Ｏ ｌ⊥ａ ｌ⊥ } ｂ ｌ⊥α 推论 如果在两条平 行直线中，有 一条垂直于平 面，那么另一 条直线也垂直 这个平面 ａ∥ｂ ａ⊥ }αｂ⊥α 性质 定理 垂直于同一个 平面的两条直 线平行 ａ⊥α ｂ⊥ }αａ∥ｂ （三）性质定理与判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面过另 一个平面的一 条垂线，则这 两个平面互相 垂直 ｌβ ｌ⊥ }αα⊥β 性质 定理 两个平面互相 垂直，则一个 平面内垂直于 交线的直线垂 直 于 另 一 个 平面 α⊥β ｌβ α∩β＝ａ ｌ⊥ } ａ ｌ⊥                                α !)#$/012 ■■ １０３　 ■ 已知ａ，ｂ为异面直线．对空间中任意一 点Ｐ，存在过点Ｐ的直线 （　　） Ａ．与ａ，ｂ都相交 Ｂ．与ａ，ｂ都垂直 Ｃ．与ａ平行，与ｂ垂直 Ｄ．与ａ，ｂ都平行 过直线 ａ存在一个与直线 ｂ平行的平面， 当点Ｐ在这个平面内且不在直线ａ上时，不满足 结论，故 Ａ错误；过 Ｐ的直线一定可以作与两 条异面直线的公垂线平行或重合的直线，故Ｂ正 确；若点 Ｐ在直线 ａ上，不存在过点 Ｐ的直线 与ａ平行，故Ｃ错误；如果存在与两条异面直线 都平行的直线，根据平行线的传递性，则两条异 面直线平行，矛盾．故Ｄ错误．因此选Ｂ． （青羊区校级模拟）在正四棱柱 ＡＢＣＤ－ Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＡＡ１＝４，ＡＢ＝２，点 Ｅ，Ｆ 分别为棱 ＢＢ１，ＣＣ１上两点，且 ＢＥ＝ １ ４ ＢＢ１，ＣＦ＝ １ ２ＣＣ１，则 （　　） Ａ．Ｄ１Ｅ≠ＡＦ，且直线Ｄ１Ｅ，ＡＦ异面 Ｂ．Ｄ１Ｅ≠ＡＦ，且直线Ｄ１Ｅ，ＡＦ相交 Ｃ．Ｄ１Ｅ＝ＡＦ，且直线Ｄ１Ｅ，ＡＦ异面 Ｄ．Ｄ１Ｅ＝ＡＦ，且直线Ｄ１Ｅ，ＡＦ相交 因为 Ｄ１Ｅ＝ Ｄ１Ｂ ２ １＋Ｂ１Ｅ槡 ２ ＝槡１７，ＡＦ＝ ＡＣ２＋ＣＦ槡 ２＝槡１２≠Ｄ１Ｅ，如图，取点 Ｍ为 ＢＣ 的中点，则ＡＤ１∥ＭＦ，故 ＡＭＦＤ１共面，点 Ｅ在 面ＡＭＦＤ１面外，故直线Ｄ１Ｅ，ＡＦ异面．故选Ａ． （翠屏区校级月考）已知 α，β是两个不重 合的平面，直线 ａα，ｐ：ａ∥β，ｑ：α∥ β，则ｐ是ｑ的 （　　） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 由α∥β，直线ａα，可得 ａ∥β，反之不 一定成立，α与β可能相交．所以 ｐ是 ｑ的必要 不充分条件．故选Ｂ． （２０１８·浙江卷）已知平面 α，直线 ｍ，ｎ 满足ｍα，ｎα，则“ｍ∥ｎ”是“ｍ∥α” 的 （　　） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 若ｍα，ｎα，ｍ∥ｎ，由线面平行的判 定定理知ｍ∥α．若 ｍ∥α，ｍα，ｎα，不一 定推出ｍ∥ｎ，直线ｍ与ｎ可能异面，故“ｍ∥ｎ” 是“ｍ∥α”的充分不必要条件，故选Ａ． （２０２１·浙江卷）如图，已知正方体 ＡＢＣＤ －Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，Ｍ，Ｎ分别是 Ａ１Ｄ，Ｄ１Ｂ的 中点，则 （　　） Ａ．直线Ａ１Ｄ与直线 Ｄ１Ｂ垂直，直线 ＭＮ ∥平面ＡＢＣＤ Ｂ．直线 Ａ１Ｄ与直线 Ｄ１Ｂ平行，直线