专题8 复数的三角表示-【老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列2

■■ ８１　 ■ ８YC%EF_` ^7967239/,4+/La+/L96+ !"–@%-Nu` 记向量的模 ＯＺ! ＝ ａ＋ｂｉ＝ｒ，由图可以得 到 ａ＝ｒｃｏｓθ， ｂ＝ｒｓｉｎθ{ ． 所以ａ＋ｂｉ＝ｒｃｏｓθ＋ｉｒｓｉｎθ＝ｒ（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ），其中 ｒ＝ ａ２＋ｂ槡 ２，ｃｏｓθ＝ａｒ，ｓｉｎθ＝ ｂ ｒ． 这样，我们就用刻画向量大小的模 ｒ和刻画向量 方向的角θ表示了复数ｚ． 一般地，任何一个复数 ｚ＝ａ＋ｂｉ都可以表示成 ｒ（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）的形式．其中，ｒ是复数ｚ的模，θ 是以 ｘ轴的非负半轴为始边，向量ＯＺ!所在射线 （射线ＯＺ）为终边的角，叫做复数 ｚ＝ａ＋ｂｉ的辐 角（ａｒｇｕｍｅｎｔｏｆａｃｏｍｐｌｅｘｎｕｍｂｅｒ）．ｒ（ｃｏｓθ＋ ｉｓｉｎθ）叫做复数ｚ＝ａ＋ｂｉ的三角表示式，简称三 角形式．为了与三角形式区分开来，ａ＋ｂｉ叫做 复数的代数表示式，简称代数形式． 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个 值，且这些值相差 ２π的整数倍．例如，复数 ｉ 的辐角是 π ２＋２ｋπ，其中 ｋ可以取任何整数．对 于复数０，因为它对应着零向量，而零向量的方 向是任意的，所以复数０的辐角也是任意的．我 们规定在０≤θ＜２π范围内的辐角 θ的值为辐角 的主值（ｐｒｉｎｃｉｐａｌｖａｌｕｅｏｆａｎａｒｇｕｍｅｎｔ）．通常记 作ａｒｇｚ，即０≤ａｒｇｚ＜２π，例如，ａｒｇ１＝０，ａｒｇｉ＝ π ２，ａｒｇ（－１）＝π，ａｒｇ（－ｉ）＝ ３π ２． 规定： ①用ａｒｇｚ表示复数ｚ的辐角主值． ②适合［０，２π）的角θ叫辐角主值 ③唯一性：复数 ｚ的辐角主值是确定的，唯 一的． ④不等于零的复数的模 ｚ＝ｒ是唯一的． ⑤ｚ＝０时，其辐角是任意的． ⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定．（求法） 显然，复数的代数形式可以转化为三角形式，三 角形式也可以转化为代数形式． 我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和 代数形式进行互化． （２０２２·荔湾区期中）复数ｚ＝ｃｏｓ－２π( )５ ＋ ｉｓｉｎ －２π( )５ 的辐角主值为 （　　） 　 　　　　 　　　　　 　　Ａ．８π５ Ｂ．－ ８π ５ Ｃ．２π５ Ｄ．－ ２π ５ 因为ｚ＝ｃｏｓ－２π( )５ ＋ｉｓｉｎ －２π( )５ ，所以复 数ｚ的辐角为２ｋπ－２π５，ｋ∈Ｚ，则复数ｚ的辐角 主值为２π－２π５＝ ８π ５．故选Ａ． （２０２２·香洲区期中）复数 ｚ＝槡２－槡２ｉ的 三角形式是 （　　） Ａ．２ｃｏｓπ４＋ｉｓｉｎ π( )４ Ｂ．２ｃｏｓ３π４＋ｉｓｉｎ ３π( )４ Ｃ．２ｃｏｓ７π４＋ｉｓｉｎ ７π( )４ Ｄ．２ｃｏｓ５π４＋ｉｓｉｎ ５π( )                                ４ ■ ８２　 ■  ｚ＝槡２－槡２ｉ＝２槡 ２ ２－ 槡２ ２( )ｉ＝２ｃｏｓ７π４＋ｉｓｉｎ７π( )４， 故选Ｃ． （２０２３·福田区模拟）瑞士数学家欧拉在 １７４８年得到复数的三角形式：ｅｉθ＝ｃｏｓθ＋ ｉｓｉｎθ，（ｉ为虚数单位），根据该式，计算 ｅπｉ＋１的值为 （　　） Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．ｉ 由 ｅｉｘ＝ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ，则 ｅｉπ＋１＝ｃｏｓπ＋ ｉｓｉｎπ＋１＝０，故选Ｂ． （２０２３·陕西模拟）若复数ｚ＝ａ＋ｂｉ（ｉ为虚 数单位，ａ，ｂ∈Ｒ）在复平面内对应点为 Ｚ（ａ，ｂ），Ｏ为坐标原点，将实轴非负半 轴绕点Ｏ逆时针旋转到 ＯＺ，转过的最小 角叫复数ｚ的辐角主值，记作 ａｒｇ（ｚ），则 ａｒｇ ２( )１－ｉ的值为 （　　） Ａ．π４ Ｂ． ３π ４ Ｃ． ５π ４ Ｄ． ７π ４ 由 ２ １－ｉ＝ ２（１＋ｉ） （１－ｉ）（１＋ｉ）＝ ２（１＋ｉ） ２ ＝１＋ｉ， 则复数 ２ １－ｉ在复平面内对应点的坐标为（１，１）， 则ａｒｇ ２( )１－ｉ的值为π４．故选Ａ． （２０２２·宝山区开学）已知复数 ｚ＝ｃｏｓθ＋ ｉｓｉｎθ（θ∈Ｒ，ｉ为虚数单位），ω＝１－ｚ ３ １－ｚ． （１）若０＜θ＜２π，求满足 ω ＝１的复数ｚ 所组成的集合； （２）若 ０＜θ＜π，试讨论复数 ω的辐角 （用θ表示）． （１）ω＝１－ｚ ３ １－ｚ＝１＋ｚ＋ｚ ２＝１＋ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ ＋ｃｏｓ２θ＋ｉｓｉｎ２θ，则 ω＝１＋ｃｏｓθ＋ｃｏｓ２θ＋（ｓｉｎθ ＋ｓｉｎ２θ）ｉ＝（２ｃｏｓθ＋１）（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ），其中０＜θ ＜２π，因为 ω ＝１，所以 ２ｃｏｓθ＋１ ＝１，解得 ｃｏｓθ＝－１或ｃｏｓθ＝０，即 ｚ＝－１或 ±ｉ，故满足 ω ＝１的复数ｚ所组成的集合｛－１，ｉ，－ｉ｝． （２）ω＝（２ｃｏｓθ＋１）（ｃｏｓθ＋ｉｓ