专题7 复数概念与运算-【老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列2

■■ ７５　 ■ ７YCZ[?\] ^7967-/+,+/,B7B7,97/, !"–@%—˜&' １．复数 （１）定义：我们把形如 ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）的数 叫做复数，其中 ｉ叫做虚数单位，满足 ｉ２＝ －１． （２）表示方法：复数通常用字母 ｚ表示，即 ｚ ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），其中 ａ叫做复数 ｚ的实 部，ｂ叫做复数ｚ的虚部． ２．复数集 （１）定义：全体复数所构成的集合叫做复 数集． （２）表示：通常用大写字母Ｃ表示． ("–@%Œs １．复数ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ） 实数（ｂ＝０）， 虚数（ｂ≠０）， 纯虚数ａ＝０， 非纯虚数ａ≠０{{ ． ２．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的 关系 -"–@./%™š›œ 设ａ，ｂ，ｃ，ｄ都是实数，则ａ＋ｂｉ＝ｃ＋ｄｉａ＝ｃ 且ｂ＝ｄ，ａ＋ｂｉ＝０ａ＝ｂ＝０． 下列命题： ①若 ａ∈Ｒ，则（ａ＋１）ｉ是纯虚数；②若 ａ，ｂ∈Ｒ，且ａ＞ｂ，则ａ＋ｉ＞ｂ＋ｉ； ③若（ｘ２－４）＋（ｘ２＋３ｘ＋２）ｉ是纯虚数， 则实数ｘ＝±２；④实数集是复数集的真 子集． 其中正确的是 （　　） 　 　　　　 　　　　　 　　Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．④ 对于复数ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），当 ａ＝０且 ｂ ≠０时，为纯虚数．对于①，若ａ＝－１，则（ａ＋ １）ｉ不是纯虚数，即①错误．两个虚数不能比较 大小，则②错误．对于③，若 ｘ＝－２，则 ｘ２－４ ＝０，ｘ２＋３ｘ＋２＝０，此时（ｘ２－４）＋（ｘ２＋３ｘ＋ ２）ｉ＝０，不是纯虚数，则③错误．显然，④正 确．故选Ｄ． 当 ｍ为何实数时，复数 ｚ＝ｍ ２－ｍ－６ ｍ＋３ ＋ （ｍ２－２ｍ－１５）ｉ． （１）是虚数； （２）是纯虚数． （１）当 ｍ＋３≠０， ｍ２－２ｍ－１５≠０{ ，即 ｍ≠５且 ｍ≠ －３时，ｚ是虚数． （２）当 ｍ２－ｍ－６ ｍ＋３ ＝０， ｍ２－２ｍ－１５≠０ { ， 即 ｍ＝３或 ｍ＝－２时， ｚ是纯虚数． （２０２２·乙卷）设（１＋２ｉ）ａ＋ｂ＝２ｉ，其中 ａ，ｂ为实数，则 （　　） Ａ．ａ＝１，ｂ＝－１ Ｂ．ａ＝１，ｂ＝１ Ｃ．ａ＝－１，ｂ＝１ Ｄ．ａ＝－１，ｂ＝－１ 因为（１＋２ｉ）ａ＋ｂ＝２ｉ，所以 ａ＋ｂ＋２ａｉ＝ ２ｉ，即 ａ＋ｂ＝０ ２ａ{ ＝２ ，解得 ａ＝１ｂ{ ＝－１．故选Ａ                                ． ■ ７６　 ■  3"–TE 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的 点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为（０， ０），它所确定的复数是 ｚ＝０＋０ｉ＝０，表示的是 实数． ="–@%)*7 １．复数ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ） 复平面内 的点Ｚ（ａ，ｂ）． ２．复数 ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ） 平面向 量ＯＺ!． ?"–@%ž １．定义：向量ＯＺ!的模叫做复数 ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ ∈Ｒ）的模． ２．记法：复数ｚ＝ａ＋ｂｉ的模记为 ｚ或 ａ＋ｂｉ． ３．公式： ｚ＝ ａ＋ｂｉ＝ ａ２＋ｂ槡 ２． （２０２１·上海）已知 ｚ＝１－３ｉ，则 ｚ－ｉ＝ 　　　　． 因为ｚ＝１－３ｉ，所以ｚ－ｉ＝１＋３ｉ－ｉ＝１＋ ２ｉ，则 ｚ－ｉ＝ １＋２ｉ＝ １２＋２槡 ２＝槡５，故答案 为：槡５． B"1Ÿ–@ １．定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相 反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚 部不等于０的两个共轭复数也叫共轭虚数． ２．表示：ｚ的共轭复数用 ｚ表示，即若 ｚ＝ａ＋ｂｉ （ａ，ｂ∈Ｒ），则ｚ＝ａ－ｂｉ． （２０２２·上海）已知ｚ＝１＋ｉ（其中 ｉ为虚数 单位），则２ｚ＝　　　　． ｚ＝１＋ｉ，则ｚ＝１－ｉ，所以２ｚ＝２－２ｉ，故 答案为：２－２ｉ． （２０２１·乙卷）设２（ｚ＋ｚ）＋３（ｚ－ｚ）＝４＋ ６ｉ，则ｚ＝ （　　） Ａ．１－２ｉＢ．１＋２ｉＣ．１＋ｉ Ｄ．１－ｉ 设ｚ＝ａ＋ｂｉ，ａ，ｂ是实数，则 ｚ＝ａ－ｂｉ， 则由２（ｚ＋ｚ）＋３（ｚ－ｚ）＝４＋６ｉ，得２×２ａ＋３× ２ｂｉ＝４＋６ｉ，得４ａ＋６ｂｉ＝４＋６ｉ，得 ４ａ＝４ ６ｂ{ ＝６，得ａ ＝１，ｂ＝１，即ｚ＝１＋ｉ，故选Ｃ． （２０２３·安徽月考·多选）已知复数 ｚ的共 轭复数记为 ｚ，对于任意的两个复数 ｚ１， ｚ２，与下列结论正确的是 （　　） Ａ． ｚ１－ｚ２ ＝ ｚ１－ｚ２ Ｂ． ｚ１＋ｚ２ ＝ ｚ１＋ｚ２ Ｃ． ｚ１－ｚ２ ＝ ｚ１－ｚ２ Ｄ． ｚ１－ｚ２ ＝ ｚ１＋ｚ２ 设ｚ１＝ａ＋ｂｉ，ｚ２＝ｃ＋ｄｉ，（ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ），则 ｚ１ ＝ａ－ｂｉ，ｚ２ ＝ｃ－ｄｉ，对 于 Ａ， ｚ１－ｚ２ ＝ ａ－ｃ＋（ｂ－ｄ）ｉ＝ （ａ－ｃ）２＋（ｂ－ｄ）槡 ２， ｚ１－ｚ２ ＝ ａ－ｃ＋（ｄ－ｂ）ｉ＝ （ａ－ｃ）