专题5 解三角形二级结论与推论-【老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列2

■■ ４７　 ■ ５PEFGQRST?UT *+,-.+/,0+/,-1+/,-234+56786+96+ !"\v~€%(‚ƒ„…† １．正切恒等式：任意斜三角形中，ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ ＋ｔａｎＣ＝ｔａｎＡ·ｔａｎＢ·ｔａｎＣ（正切恒等式） 证明：－ｔａｎＣ＝ｔａｎ（Ａ＋Ｂ）＝ ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ１－ｔａｎＡ·ｔａｎＢ ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ＝ｔａｎＡ·ｔａｎＢ·ｔａｎＣ ２．正切比值（射影比值）定理：ｔａｎＡ＝λｔａｎＢｃ ＝（λ＋１）ｂｃｏｓＡａ ２－ｂ２ λ－１ ＝ ｃ ２ λ＋１ （λ≠０）． 证明：（充分性）因为ｔａｎＡ＝λｔａｎＢ，所以ｓｉｎＡｃｏｓＡ ＝λｓｉｎＢｃｏｓＢ，所以 ｓｉｎＡｃｏｓＢ＝λｓｉｎＢｃｏｓＡ，即 ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢｃｏｓＡ＝（λ＋１）ｓｉｎＢｃｏｓＡ，故ｓｉｎ （Ａ＋Ｂ）＝ｓｉｎＣ＝（λ＋１）ｓｉｎＢｃｏｓＡ，ｃ＝（λ＋ １）ｂｃｏｓＡ． 根据余弦定理，ｃ＝（λ＋１）ｂｂ ２＋ｃ２－ａ２ ２ｂｃ ，故 （λ＋１）（ｂ２－ａ２）＋（λ－１）ｃ２＝０，即ａ ２－ｂ２ λ－１ ＝ ｃ２ λ＋１ ，必要性反推即可，这里不详细说明． 几何背景 如下左图：ＣＤ为 ＡＢ边上的高，且ＢＤ! ＝ λＤＡ!，则ｔａｎＡ＝ ｈＡＤ ＝λ ｈ ＢＤ ＝λｔａｎＢ； 由于 ＡＤ ＝ｂｃｏｓＡ， ＢＤ ＝ａｃｏｓＢ＝λｂｃｏｓＡ， 所以ｃ＝ ＡＤ ＋ ＢＤ ＝（λ＋１）ｂｃｏｓＡ； 由于 ａ２ －ｂ２ ＝ ＢＤ ２ － ＡＤ ２ ＝（λ２ －１） ＡＤ ２，且 ｃ２＝（１＋λ）２ ＡＤ ２，所以ａ ２－ｂ２ λ－１ ＝ ｃ ２ λ＋１ 所以，正切的比值定理也叫射影比值定理． 建议大家画图记忆，以便考场中随时推导． 　　　 注意：当λ＝１时，即我们上一讲介绍到的 ｃ ＝２ｂｃｏｓＡｓｉｎＣ＝２ｓｉｎＢｃｏｓＡ，就是等腰三 角形； 当λ＝０时，ｃ＝ｂｃｏｓＡｓｉｎＣ＝ｓｉｎＢｃｏｓＡｃｏｓＢ ＝０，是直角三角形，由于直角无正切值，故 λ≠０． ３．正切倒数和（底高比）定理： 公式一： １ ｔａｎＡ＋ １ ｔａｎＢ＝ λ ｔａｎＣａ ２＋ｂ２＝λ＋２ λ ｃ２； 公式二： １ ｔａｎＡ＋ １ ｔａｎＢ＝λＳ＝ ｃ２ ２λ ｓｉｎＣ＝ λｓｉｎＡｓｉｎＢ，且ｂａ＋ ａ ｂ≤ λ ２ 槡 ＋４． 证明：公式一：（充分性）因为 １ ｔａｎＡ＋ １ ｔａｎＢ＝ λ ｔａｎＣ，所以 ｃｏｓＡ ｓｉｎＡ＋ ｃｏｓＢ ｓｉｎＢ＝ λｃｏｓＣ ｓｉｎＣ，所以 ｓｉｎＣｓｉｎＢｃｏｓＡ＋ｓｉｎＡｓｉｎＣｃｏｓＢ＝λｓｉｎＡｓｉｎＢｃｏｓＣ， ｂｃｃｏｓＡ＋ａｃｃｏｓＢ＝λａｂｃｏｓＣ，所以ｂ ２＋ｃ２－ａ２ ２ ＋ ａ２＋ｃ２－ｂ２ ２ ＝ λ ２（ａ ２＋ｂ２－ｃ２），所以 ａ２＋ｂ２＝ λ＋２ λ ｃ２．必要性反向证明即可． 公式二： １ ｔａｎＡ＋ １ ｔａｎＢ＝λ ｃｏｓＡ ｓｉｎＡ＋ ｃｏｓＢ ｓｉｎＢ＝λ ｓｉｎＢｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢｓｉｎＡ＝ｓｉｎＣ＝λｓｉｎＡｓｉｎＢ Ｓ＝１２ａｂｓｉｎＣ＝ １ ２ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣ·４Ｒ ２＝１２λ ｓｉｎ２Ｃ ·４Ｒ２＝ｃ ２ ２λ ， ｂ ａ＋ ａ ｂ＝ ａ２＋ｂ２ ａｂ ＝ ２ａｂｃｏｓＣ＋ｃ２ ａｂ                                ＝ ■ ４８　 ■  ２ｃｏｓＣ＋ ｓｉｎ ２Ｃ ｓｉｎＡｓｉｎＢ＝２ｃｏｓＣ＋λｓｉｎＣ＝ λ ２ 槡 ＋４ｓｉｎ （Ｃ＋φ）≤ λ２槡 ＋４其中ｔａｎφ＝ ２( )λ 几何背景 　　 １ ｔａｎＡ＋ １ ｔａｎＢ＝ λ ｔａｎＣ型　 １ ｔａｎＡ＋ １ ｔａｎＢ＝λ型 公式一：如左图：由于 １ ｔａｎＡ＋ １ ｔａｎＢ＝ ＡＤ ｈ ＋ ＢＤ ｈ ＝ ｃ ｈ＝ λ ｔａｎＣ，且 Ｓ＝ ｃｈ ２＝ ｃ２ｔａｎＣ ２λ ＝１４（ａ ２ ＋ｂ２－ｃ２）ｔａｎＣ，故 ａ２＋ｂ２－ｃ２＝２ｃ ２ λ ，即 ａ２＋ ｂ２＝λ＋２ λ ｃ２ 公式二：如右图： １ ｔａｎＡ＋ １ ｔａｎＢ＝ ＡＤ ｈ ＋ ＢＤ ｈ ＝ｃｈ＝λ，故Ｓ＝ ｃｈ ２＝ ｃ２ ２λ ； ｓｉｎＡｓｉｎＢ＝ｈｂ· ｈ ａ＝ ｈ２ ２Ｓ ｓｉｎＣ ＝ｈ ２ ｃｈｓｉｎＣ＝ ｓｉｎＣ λ 由于几何背景完全依附于底高比和等面积法， 故此定理也叫底高比定理．建议画图理解， 加深对模型的理解和记忆． （２０２３·新疆模拟）在△ＡＢＣ中，内角 Ａ， Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，若ａ２＋ｂ２＝ ｋａｂ，则△ＡＢＣ的面积为ｃ ２ ２时，ｋ的最大值 是 （　　） 　 　　　　 　　　　　 　　Ａ．２ Ｂ．槡５ Ｃ．４ Ｄ．２槡５ 由题意得Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ａｂｓｉ