专题4 正弦定理与余弦定理-【老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列2

■ ３６　 ■  ４MNJK?ONJK *+,-.+/,0+/,-1+/,-234+56786+96+ !"no6X 在△ＡＢＣ中，角 Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别是 ａ，ｂ， ｃ，则有 余 弦 定 理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他 两边平方的和减去这两边与它们夹角 的余弦的积的两倍 公式表达 ａ２＝ｂ２ ＋ｃ２ －２ｂｃｃｏｓＡ，ｂ２ ＝ａ２ ＋ｃ２ － ２ａｃｃｏｓＢ，ｃ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓＣ 推论 ｃｏｓＡ＝ｂ ２＋ｃ２－ａ２ ２ｂｃ ，ｃｏｓＢ＝ ａ２＋ｃ２－ｂ２ ２ａｃ ， ｃｏｓＣ＝ａ ２＋ｂ２－ｃ２ ２ａｂ ("no6Xp\qr-st-Nucd １．已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形 的第三边和其他两个角． 在△ＡＢＣ中，已知 ｂ＝３，ｃ＝２槡３，Ａ＝ ３０°，求ａ． 由余弦定理，得 ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡ＝３２ ＋（２槡３） ２－２×３×２槡３ｃｏｓ３０°＝３，所以ａ＝槡３． ２．已知三角形的三边，求三角形的三个角． 在△ＡＢＣ中，已知ａ＝７，ｂ＝３，ｃ＝５，求 最大角． 因为ａ＞ｃ＞ｂ，所以Ａ为最大角．由余弦定 理的推论，得 ｃｏｓＡ＝ｂ ２＋ｃ２－ａ２ ２ｂｃ ＝ ３２＋５２－７２ ２×３×５ ＝ －１２． 又因为０°＜Ａ＜１８０°，所以 Ａ＝１２０°，所以最大 角Ａ为１２０°． ３．已知三角形的两边和其中一条边的对角，求 三角形的第三边和其他两个角． （１）（２０２１·甲卷）在△ＡＢＣ中，已知 Ｂ＝ １２０°，ＡＣ＝槡１９，ＡＢ＝２，则ＢＣ＝ （　　） 　 　　　　 　　　　　 　　Ａ．１ Ｂ．槡２ Ｃ．槡５ Ｄ．３ （２）在△ＡＢＣ中，已知 ｂ＝３，ｃ＝３槡３，Ｂ ＝３０°，求角Ａ、角Ｃ和边ａ． （１）设角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为 ａ，ｂ， ｃ，结合余弦定理，可得１９＝ａ２＋４－２×ａ×２× ｃｏｓ１２０°，即ａ２＋２ａ－１５＝０，解得 ａ＝３（ａ＝－５ 舍去），所以ＢＣ＝３．故选Ｄ． （２）由余弦定理 ｂ２＝ａ２＋ｃ２－２ａｃｃｏｓＢ，得３２＝ａ２ ＋（３槡３） ２－２ａ×３槡３×ｃｏｓ３０°，即 ａ ２－９ａ＋１８＝ ０，解得 ａ＝３或 ａ＝６．当 ａ＝３时，Ａ＝３０°，Ｃ ＝１２０°； 当ａ＝６时，由余弦定理ｃｏｓＡ＝ｂ ２＋ｃ２－ａ２ ２ｂｃ ＝０，Ａ ＝９０°，Ｃ＝６０°． 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断 该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的 夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求 第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用 余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第 三边． -"vo6X\8wux` 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相 等，即 ａ ｓｉｎＡ＝ ｂ ｓｉｎＢ＝ ｃ ｓｉｎＣ＝２Ｒ．我们来看一下变 形公式： １．ａ＝２ＲｓｉｎＡ，ｂ＝２ＲｓｉｎＢ，ｃ＝２ＲｓｉｎＣ． ２．ｓｉｎＡ＝ａ２Ｒ，ｓｉｎＢ＝ ｂ ２Ｒ，ｓｉｎＣ＝ ｃ ２Ｒ（其中 Ｒ                                是 !"#$%&'()*+ ■■ ３７　 ■ △ＡＢＣ外接圆的半径）． ３．Ｓ＝１２ａｂｓｉｎＣ＝ １ ２ａｃｓｉｎＢ＝ １ ２ｂｃｓｉｎＡ 3"vo6Xp\qr-st-Nucd １．已知两角及任意一边解三角形 在△ＡＢＣ中，已知 Ａ＝３０°，Ｂ＝６０°，ａ＝ １０，解三角形． 根据正弦定理，得 ｂ＝ａｓｉｎＢｓｉｎＡ＝ １０ｓｉｎ６０° ｓｉｎ３０°＝ １０槡３．又Ｃ＝１８０°－（３０°＋６０°）＝９０°，所以ｃ＝ ａ２＋ｂ槡 ２＝２０． ２．已知两边及其中一边的对角解三角形 （２０２２·鹿城区开学）已知△ＡＢＣ中，角 Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为 ａ，ｂ，ｃ，若 Ａ ＝６０°，ａ＝３２，ｂ＝槡３，则角Ｃ的大小是 （　　） 　 　　　　 　　　　　 　　Ａ．３０° Ｂ．４５° Ｃ．６０° Ｄ．９０° 因为Ａ＝６０°，ａ＝３２，ｂ＝槡３，所以由正 弦定理可得， ａ ｓｉｎＡ＝ ｂ ｓｉｎＢ，即 ｓｉｎＢ＝ ｂｓｉｎＡ ａ ＝ 槡３×槡 ３ ２ ３ ２ ＝１，因为Ｂ∈（０，１８０°），所以 Ｂ＝９０°， 所以Ｃ＝１８０°－Ｂ－Ａ＝３０°．故选Ａ． ３．已知面积求边与角 （２０２２·金牛区月考）已知ａ，ｂ，ｃ分别为 △ＡＢＣ三个内角 Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，且 ２ｃｃｏｓＢ＝２ａ－ｂ，ａ＝４，Ｓ△ＡＢＣ＝３槡３，则ｂ＝ （　　） Ａ．３ Ｂ．３槡３ Ｃ．６ Ｄ．６槡３ 由正弦定理及２ｃｃｏｓＢ＝２ａ－ｂ得２ｓｉｎＣｃｏｓＢ ＝２ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢ．又因为在△ＡＢＣ中，ｓｉｎＡ＝ ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ），所以 ２ｓｉｎＣｃｏｓＢ＝２ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）－ ｓｉｎＢ，整理得 ２ｓｉｎＢｃ