专题3 向量等数线与三角形四心定理-【老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列2

■ ２０　 ■  ３#$=CD?EFGHIJK 0+/,-1+/,-23,-9670+/,B79/,4+/L0+,-9+0+,2+,-1+ !"/e26X 如图设 ｅ１，ｅ２是平面内两个不共线向量，若ＯＰ ! ＝ｘｅ１＋ｙｅ２，且ｘ＋ｙ＝１，ＯＱ ! ＝ｘ′ｅ１＋ｙ′ｅ２且ｘ′＋ ｙ′＝ｋ，则有ｋ＝ ＯＱ ! ＯＰ! ． 证明：设ＯＱ! ＝ｋＯＰ!，根据相似三角形关系可知： ＯＱ! ＝ｋｘｅ１＋ｙｅ( )２ ＝ｋｘｅ１＋ｋｙｅ２＝ｘ′ｅ１＋ｙ′ｅ２，所 以ｘ′＋ｙ′＝ｋｘ＋( )ｙ＝ｋ所以ｘ′＋ｙ′＝ｋ＝ ＯＱ ! ＯＰ! ． 同理，我们来分析等差线： 如图设ＡＢ! ＝ｅ１，ＡＣ ! ＝ｅ２是平面内两个不共线向 量，若ＡＰ! ＝ｘｅ１＋ｙｅ２，反向延长ＡＣ ! 到Ｅ，使ＡＥ! ＝ －ＡＣ!，当Ｐ位于直线ＢＥ上时，一定有ｘ－ｙ＝１， 若ＡＱ! ＝ｘ′ｅ１＋ｙ′ｅ２且 ｘ′＋ｙ′＝ｋ，则有 ｋ＝ ＡＱ! ＡＰ! ． 特殊的，当Ｑ位于直线ＣＦ上时，有ｘ－ｙ＝－１， 当Ｑ位于直线ＡＤ上时，有ｘ－ｙ＝０， ("f@/e2 如图，设ＯＡ! ＝ｅ１，ＯＢ ! ＝ｅ２是平面内两个不共线 向量，若ＯＣ! ＝ｘｅ１＋ｙｅ２，一定有 ｘ＋ｙ＝１，若ＯＤ ! ＝λｅ１，ＯＥ ! ＝μｅ２，则ＯＣ ! ＝ｘｅ１＋ｙｅ２＝ ｘＯＤ! λ ＋ｙＯＥ ! μ ， 故一定有 ｘ λ ＋ｙ μ ＝１； 同理，当ＯＰ! ＝ｋＯＣ!，且ＯＦ! ＝λ′ｅ１，ＯＧ ! ＝μ′ｅ２，则 ＯＰ! ＝ｘ′ｅ１＋ｙ′ｅ２＝ ｘ′ＯＦ! λ′ ＋ｙ′ＯＧ ! μ′ ，故一定有 ｘ′＋ｙ′ ＝ｋ，ｘ′ λ′ ＋ｙ′ μ′ ＝１； -"/g2 如图所示，令 ＯＤ ＯＡ＝ ＯＥ ＯＢ＝ ＯＰ ＯＣ＝ｋ，若ＯＰ ! ＝λＯＡ! ＋ μＯＢ!，根据等和线定理可得 λμ ＝ ＰＥＰＤ ＝ ＢＣ ＣＡ， 所以直线ＯＣ就是一条等商线，特别的，当Ｍ为 ＡＢ中点时，ＯＭ为等商１线． 经过△ＯＡＢ重心Ｇ的直线与ＯＡ，ＯＢ分别 交于点 Ｐ，Ｑ，设ＯＰ! ＝ｍＯＡ!，ＯＱ! ＝ｎＯＢ!， ｍ，ｎ∈Ｒ，求１ｎ＋ １ ｍ的值． 由于 Ｇ在中线 ＡＣ上，且ＯＧ! ＝２３ＯＣ ! ，                                所 !"#$%&'()*+ ■■ ２１　 ■ 以ＯＧ! ＝２３ １ ２ＯＡ ! ＋１２ＯＢ( )! ＝１３ＯＡ! ＋１３ＯＢ!，ＯＰ! ＝ ｍＯＡ!，ＯＱ! ＝ｎＯＢ!，则ＯＧ! ＝＝１３ｍＯＰ ! ＋１３ｎＯＱ ! ，由 于Ｐ、Ｇ、Ｑ三点共线，故 １３ｍ＋ １ ３ｎ＝１，即 １ ｍ＋ １ ｎ＝３． 如图，平面内有三个向量ＯＡ!，ＯＢ!，ＯＣ!， 其中ＯＡ!与ＯＢ!的夹角为１２０°，ＯＡ!与ＯＣ!的夹 角为 ３０°，且 ＯＡ! ＝ ＯＢ! ＝１， ＯＣ! ＝ ２槡３．若ＯＣ ! ＝ｍＯＡ! ＋ｎＯＢ!（ｍ，ｎ∈Ｒ），则 ｍ＋ｎ的值为　　　　． 解法一：连接ＡＢ，交ＯＣ!于点Ｄ，∠ＤＯＡ＝ ∠ＯＡＤ＝３０°，∠ＢＯＤ＝９０°， ＯＤ! ＝ ＤＡ! ＝槡３３， ＤＢ! ＝２槡３３，故ＯＤ ! ＝２３ＯＡ ! ＋１３ＯＢ ! ； ＯＣ! ＝２槡３＝ ６ＯＤ! ，所以ＯＣ! ＝６ ２３ＯＡ ! ＋１３ＯＢ( )! ＝４ＯＡ! ＋２ＯＢ!， ｍ＋ｎ＝６． 解法二：根据等和线定理可得： ＯＣ ＯＤ ＝ｋ＝ｍ＋ｎ， 根据几何性质 ＯＤ ＯＢ ＝ｔａｎ３０°＝ 槡３ ３，故ｋ＝ ２槡３ 槡３ ３ ＝６． 在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１，ＡＤ＝２，动点Ｐ 在以点 Ｃ为圆心且与 ＢＤ相切的圆上，若 ＡＰ! ＝ｍＡＢ! ＋ｎＡＤ!，则ｍ＋ｎ的最大值为 （　　） 　 　　　　 　　　　　 　　Ａ．３ Ｂ．２槡２ Ｃ．槡５ Ｄ．２ 如图，作ＢＤ的平行线，根据相似三角形 对应高的比，发现当平行线过圆心 Ｃ的时候，ｍ ＋ｎ＝２，当ＢＤ的平行线 ＰＮ与圆 Ｃ相切时，即 点Ｐ位于Ｐ１点时，此时 ＡＮ ＡＤ取得最大值，可以 得到 ＡＮ ＡＤ取得最大比值为３，即 ｍ＋ｎ的最大值 为３．故选Ａ． （２０２２·开福区开学）在△ＡＢＣ中，点 Ｄ 满足４ＢＤ! ＝３ＢＣ!，当点 Ｅ在线段 ＡＤ（不含 端点Ａ，Ｄ）上移动时，若ＡＥ! ＝λＡＢ! ＋μＡＣ!， 则 μ λ ＝　　　　． 如图所示，在△ＡＢＣ中，由已知ＢＤ! ＝ ３ ４ＢＣ ! ，所以ＡＤ! ＝１４ＡＢ ! ＋３４ＡＣ ! ，又点 Ｅ在线段 ＡＤ上移动，设ＡＥ! ＝ｋＡＤ!，０＜ｋ＜１，所以ＡＥ! ＝ ｋ ４ＡＢ ! ＋３ｋ４ＡＣ ! ，又ＡＥ! ＝λＡＢ! ＋μＡＣ!，所以 μλ ＝３． 故答案为：３． （２０２０·江苏）在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝４，ＡＣ＝ ３，∠ＢＡＣ＝９０°，Ｄ在边 ＢＣ上