专题2 极化恒等式与向量隐圆-【老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列2

■■ １１　 ■ ２:;<=>?#$@A 4+67/63,-23,-96+B70+/,-1+/,-B+,B7/, !"]^_/` 极化恒等式：ａ·ｂ＝１４［ａ＋( )ｂ ２－ ａ－( )ｂ２］，我们 在之前提到两个向量的数量积，有两个方案，一 是知道模和夹角，二是知道两个向量的坐标，极 化恒等式的出现，使得向量的数量积有了第三种 方案，就是利用中线的平方差，这样无需任何角 度和坐标，完全靠长度平方差来解决，向量完全 靠模长化解决数量积问题，联想我们学习的极坐 标，所谓“极化”，就是完全模长化，这个完全 模长化的恒等式就叫极化恒等式． 在△ＡＢＣ中，若ＡＭ是△ＡＢＣ的ＢＣ边中线，有以 下两个重要的向量关系： ＡＭ! ＝１２ ＡＣ ! ＋ＡＢ( )! ＢＭ! ＝１２ ＡＣ ! －ＡＢ( ){ ! 定理１　平行四边形两条对角线的平方和等于两 条邻边平方和的两倍．以此类推到三角形，若ＡＭ 是△ＡＢＣ的中线，则ＡＢ２＋ＡＣ２＝２ＡＭ２＋ＢＭ( )２ ． 定理２　在△ＡＢＣ中，若 Ｍ是 ＢＣ的中点，则有 ＡＢ!·ＡＣ! ＝ＡＭ! ２－１４ＢＣ !２＝ＡＭ! ２－ＢＭ! ２． （２０１４·新课标Ⅱ）设向量 ａ，ｂ满足 ａ＋ｂ＝槡１０， ａ－ｂ＝槡６，则 ａ·ｂ等 于 （　　） 　 　　　　 　　　　　 　　Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．５ 由极化恒等式，即得ａ·ｂ＝ａ＋ｂ ２－ａ－ｂ２ ４ ＝１０－６４ ＝１． （２０２０·新课标Ⅰ）设 ａ，ｂ为单位向量， 且 ａ＋ｂ＝１，则 ａ－ｂ＝　　　　． 解法一：ａ，ｂ为单位向量，且 ａ＋ｂ ＝１， ａ＋ｂ２＝１，可得ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２＝１，１＋２ａ·ｂ＋ １＝１，所 以 ２ａ· ｂ＝ －１，则 ａ－ｂ ＝ ａ２－２ａ·ｂ＋ｂ槡 ２＝槡３． 解 法 二 （极 化 恒 等 式）： ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ａ＋ｂ２＋ ａ－ｂ２ ２ ＝ １＋ ａ－ｂ２ ２ ＝２，则 ａ－ｂ ２＝ ３．故答案为：槡３． （２０２２·北京）在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝３，ＢＣ＝ ４，∠Ｃ＝９０°．Ｐ为△ＡＢＣ所在平面内的 动点，且 ＰＣ＝１，则ＰＡ!·ＰＢ!的取值范围 是 （　　） Ａ．［－５，３］ Ｂ．［－３，５］ Ｃ．［－６，４］ Ｄ．［－４，６］ 如图，以 Ｃ（０，０）为原点建系，则 Ａ（０， ３），Ｂ（４，０），Ｍ为 ＡＢ中点，易知 ＯＭ ＝ ＡＭ ＝１２ ＡＢ ＝ ５ ２，根据极化恒等式，ＰＡ ! ·ＰＢ! ＝ ＰＭ ２－ ＡＭ ２＝ ＰＭ ２－２５４，由于 ＯＭ －１ ≤ ＰＭ ≤ ＯＭ ＋１，即 ３２≤ ＰＭ ≤ ７ ２，所以 ＰＡ!·ＰＢ!∈［－４，６］，故选Ｄ． （２０２０·天津）如图，在四边形 ＡＢＣＤ中， ∠Ｂ＝６０°，ＡＢ＝３，ＢＣ＝６，且ＡＤ! ＝λＢＣ!， ＡＤ!·ＡＢ! ＝－３２，则实数λ的值为　　　　， 若Ｍ，Ｎ是线段ＢＣ上的动点，且 ＭＮ!                                ＝ ■ １２　 ■  １，则ＤＭ!·ＤＮ!的最小值为　　　　． 　　　 以Ｂ为原点，以 ＢＣ为 ｘ轴建立如图所示 的直角坐标系，因为∠Ｂ＝６０°，ＡＢ＝３，ＢＣ＝６， 所以Ａ ３ ２， ３槡３( )２ ，Ｃ（６，０），ＡＤ! ＝λＢＣ!，则 ＡＤ ∥ＢＣ，设 Ｄ ｘ０， ３槡３( )２ ，ＡＤ! ＝ ｘ０－３２，( )０，ＡＢ! ＝ －３２，－ ３槡３( )２ ，ＡＤ!·ＡＢ! ＝－３２ ｘ０－３( )２ ＋０ ＝－３２，解得 ｘ０＝ ５ ２，故 Ｄ ５ ２， ３槡３( )２ ，ＡＤ! ＝ （１，０），ＢＣ! ＝（６，０），ＡＤ! ＝１６ＢＣ ! ，所以 λ＝ １ ６，根据极化恒等式，记 Ｍ，Ｎ中点为 Ｔ，ＤＭ ! ·ＤＮ! ＝ＤＴ２－１４≥ ３槡３( )２ ２ －１４＝ １３ ２．故答案为： １ ６， １３ ２． （２０１６·江苏卷）如图，在△ＡＢＣ中，Ｄ是 ＢＣ的中点 Ｅ，Ｆ是 ＡＤ的两个三等分点， ＢＡ!·ＣＡ! ＝４，ＢＦ!·ＣＦ! ＝－１则ＢＥ!·ＣＥ! ＝ 　　　　． 根据极化恒等式可得：ＢＡ!·ＣＡ! ＝ ＡＤ! ２－ ＢＤ! ２＝４，ＢＦ!·ＣＦ! ＝ １３ＡＤ ! ２ － ＢＤ! ２＝－１； 解得： ＡＤ! ２ ＝４５８， ＢＤ ! ２ ＝１３８故ＢＥ ! ·ＣＥ! ＝ ２ ３ＡＤ ! ２ － ＢＤ! ２＝７８，故答案为 ７ ８． （２０１８·天津）如图，在平面四边形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ⊥ＢＣ，ＡＤ⊥ＣＤ，∠ＢＡＤ＝１２０°， ＡＢ＝ＡＤ＝１．若点 Ｅ为边 ＣＤ上的动点， 则ＡＥ!·ＢＥ!的最小值为 （　　） Ａ．２１１６ Ｂ． ３ ２ Ｃ． ２５ １６ Ｄ．３ 　　　 取ＡＢ中点Ｆ，连接ＥＦ，ＡＥ!·ＢＥ! ＝ ＥＦ