专题1 平面向量的基础知识-【老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列2

书 ■■ １　 ■ １!"#$%&'() *+,-.+/,0+/,-1+/,-234+56786+96+ !"#$%&' １．向量：既有大小又有方向的量叫做向量． ２．数量：只有大小没有方向的量称为数量． ("#$%)*+, １．有向线段 具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个 要素：起点、方向、长度，如图所示． 以Ａ为起点、Ｂ为终点的有向线段记作ＡＢ!， 线段ＡＢ的长度叫做有向线段ＡＢ!的长度记 作 ＡＢ! ． ２．向量的表示 （１）几何表示：向量可以用有向线段表示， 有向线段的长度表示向量的大小，有向线段 的方向表示向量的方向． （２）字母表示：向量可以用字母ａ，ｂ，ｃ，… 表示（ａ，ｂ，ｃ，书写时用ａ!，ｂ!， ｃ!）． ３．模、零向量、单位向量 向量ＡＢ!的大小，称为向量ＡＢ!的长度（或称 模），记作 ＡＢ! ．长度为０的向量叫做零向 量，记作０；长度等于１个单位长度的向量， 叫做单位向量． -"./#$012#$ １．平行向量： 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量． （１）记法：向量ａ与ｂ平行，记作ａ∥ｂ． （２）规定：零向量与任意向量平行． ２．相等向量： 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． ３．共线向量： 由于任一组平行向量都可以平移到同一直线 上，所以平行向量也叫做共线向量． 向量ａ（ａ≠０）与 ｂ共线的充要条件是：存在 唯一一个实数λ，使ｂ＝λａ． （２０２２·开封开学）已知非零向量ａ与ｂ共 线，下列说法不正确的是 （　　） 　 　　　　 　　　　　 　　Ａ．ａ＝ｂ或ａ＝－ｂ Ｂ．ａ与ｂ平行 Ｃ．ａ与ｂ方向相同或相反 Ｄ．存在实数λ，使得ａ＝λｂ 若非零向量ａ与ｂ共线，则两向量方向相 同或相反，但是模长不一定相等，Ａ错误，Ｂ正 确，Ｃ正确；根据向量共线定理可知Ｄ正确．故 选Ａ． （２０２２·象山区期末）如图所示，点 Ｏ是 正六边形 ＡＢＣＤＥＦ的中心，则以图中点 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｏ中的任意一点为 始点，与始点不同的另一点为终点的所有 向量中，除向量ＯＡ!外，与向量ＯＡ!共线的 向量共有 （　　） Ａ．６个 Ｂ．７个 Ｃ．８个 Ｄ．９个 图中与ＯＡ!共线的向量有：ＡＯ!，ＢＣ!，ＣＢ!， ＯＤ!，ＤＯ!，ＥＦ!，ＦＥ!，ＡＤ，! ＤＡ!，故选Ｄ                                ． ■ ２　 ■  3"#$45%6789:;5< １．三角形法则 已知非零向量 ａ，ｂ，在平面内任取一点 Ａ， 作ＡＢ! ＝ａ，ＢＣ! ＝ｂ，则向量ＡＣ!叫做 ａ与 ｂ的 和，记作ａ＋ｂ，即 ａ＋ｂ＝ＡＢ! ＋ＢＣ! ＝ＡＣ!．这 种求向量和的方法，称为向量加法的三角形 法则． ２．平行四边形法则 以同一点Ｏ为起点的两个已知向量ａ，ｂ为邻 边作ＯＡＣＢ，则以 Ｏ为起点的对角线ＯＣ!就 是ａ与ｂ的和．把这种作两个向量和的方法 叫做向量加法的平行四边形法则 化简：（１）ＢＣ! ＋ＡＢ!；（２）ＤＢ! ＋ＣＤ! ＋ＢＣ!； （３）ＡＢ! ＋ＤＦ! ＋ＣＤ! ＋ＢＣ! ＋ＦＡ!． （１）ＢＣ! ＋ＡＢ! ＝ＡＢ! ＋ＢＣ! ＝ＡＣ!．（２）ＤＢ! ＋ＣＤ! ＋ＢＣ! ＝ＢＣ! ＋ＣＤ! ＋ＤＢ! ＝（ＢＣ! ＋ＣＤ!）＋ＤＢ! ＝ＢＤ! ＋ ＤＢ! ＝０．（３）ＡＢ! ＋ＤＦ! ＋ＣＤ! ＋ＢＣ! ＋ＦＡ! ＝ＡＢ! ＋ＢＣ! ＋ ＣＤ! ＋ＤＦ! ＋ＦＡ! ＝ＡＣ! ＋ＣＤ! ＋ＤＦ! ＋ＦＡ! ＝ＡＤ! ＋ＤＦ! ＋ ＦＡ! ＝ＡＦ! ＋ＦＡ! ＝０． ="#$%>5 １．定义：向量ａ加上ｂ的相反向量，叫做ａ与ｂ 的差，即ａ－ｂ＝ａ＋（－ｂ），因此减去一个向 量，相当于加上这个向量的相反向量，求两 个向量差的运算，叫做向量的减法． ２．几何意义：在平面内任取一点 Ｏ，作ＯＡ! ＝ａ， ＯＢ! ＝ｂ，则向量ａ－ｂ＝ＢＡ!，如图所示． ３．如果把两个向量的起点放在一起，那么这两 个向量的差是以减向量的终点为起点，被减 向量的终点为终点的向量． ４．若ａ，ｂ是不共线向量， ａ＋ｂ与 ａ－ｂ的 几何意义分别是什么？ 如图所示，设ＯＡ! ＝ａ，ＯＢ! ＝ｂ．根据向量加法 的平行四边形法则和向量减法的几何意义， 有ＯＣ! ＝ａ＋ｂ，ＢＡ! ＝ａ－ｂ．因为四边形 ＯＡＣＢ 是 平 行 四 边 形，所 以 ａ＋ｂ ＝ ＯＣ! ， ａ－ｂ＝ ＢＡ! ，分别是以 ＯＡ，ＯＢ为邻边的 平行四边形的两条对角线的长． （２０２２·禅城区月考）下列各式中结果为零 向量的是 （　　） Ａ．ＡＢ! ＋ＭＢ! ＋ＢＯ! ＋ＯＭ! Ｂ．ＡＢ! －ＡＤ! －ＤＣ! Ｃ．ＯＡ! ＋ＯＣ! ＋ＢＯ! ＋ＣＯ! Ｄ．ＡＢ! －ＡＣ! ＋ＢＤ! －ＣＤ! 对Ａ，因为ＡＢ!