第六章 三、特珠数列迭代篇-【老唐说题】高中数学新思路 多选+填空压轴专题

■ １７６　 ■  三、特殊数列迭代篇 题型一：斐波那契数列和提丢斯数列 斐波那契数列： 定义：一个数列，前两项都为１，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么这个数列称为斐波 那契数列，又称黄金分割数列；表达式Ｆ０＝１，Ｆ１＝１，Ｆｎ＝Ｆｎ－１＋Ｆｎ－２（ｎ≥３且ｎ∈Ｎ）． 通项公式：Ｆｎ＝ １ 槡５ １＋槡５( )２ ｎ －１－槡５( )２[ ] ｎ （又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例） 证明：线性递推数列的特征方程为：ｘ２＝ｘ＋１，解得：ｘ１＝ １＋槡５ ２ ，ｘ２＝ １－槡５ ２ ，则 Ｆｎ＝ｃ１ｘ ｎ １ ＋ｃ２ｘ ｎ ２． 因为Ｆ１＝Ｆ２＝１，所以 １＝ｃ１ｘ１＋ｃ２ｘ２ １＝ｃ１ｘ ２ １＋ｃ２ｘ ２{ ２ 解得：ｃ１＝ １ 槡５ ；ｃ２＝－ １ 槡５ ，所以Ｆｎ＝ １ 槡５ １＋槡５( )２ ｎ －１－槡５( )２[ ] ｎ ． 斐波那契数列的一些性质： 求和问题：①Ｓｎ＝ａｎ＋２－１；②ａ１＋ａ３＋ａ５＋…ａ２ｎ－１＝ａ２ｎ；③ａ２＋ａ４＋ａ６＋…ａ２ｎ＝ａ２ｎ＋１－１ 证明：①ａｎ＋２＝Ｓｎ＋２－Ｓｎ＋１＝ ａｎ＋２－ａｎ( )＋１ ＋ ａｎ＋１－ａ( )ｎ ＋… ＋ ａ２－ａ( )１ ＋ａ１＝ａｎ＋ａｎ－１＋… ＋ａ１ ＋ａ１＝Ｓｎ＋１，故Ｓｎ＝ａｎ＋２－１，此证明方法也是错位相减的一种特例． ②ａ１＋ａ３＋…＋ａ２ｎ－１＝ａ１＋ ａ１＋ａ( )２ ＋ ａ３＋ａ( )４ ＋…＋ ａ２ｎ－３＋ａ２ｎ( )－２ ＝ａ１＋Ｓ２ｎ－２＝ａ２ｎ，此证明过 程也需要利用①的结论． ③ａ２＋ａ４＋…＋ａ２ｎ＝ａ１＋ ａ２＋ａ( )３ ＋ ａ４＋ａ( )５ ＋…＋ ａ２ｎ－２＋ａ２ｎ( )－１ ＝Ｓ２ｎ－１＝ａ２ｎ＋１－１ 这三个式子用数学归纳法证明也非常简单，无需强化记忆，每次列出前几项比划一下，考试中 如果出现需要这些结论的，拿出前几项及时推导即可． 平方和问题：ａ２１＋ａ ２ ２＋…＋ａ ２ ｎ＝ａｎａｎ＋１（根据面积公式推导，如下图） 构造正方形来设计面积，ａ２１＋ａ ２ ２＋ａ ２ ３＝Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３＝ ａ１＋ａ( )２ ａ２＋ａ( )３ ＝ａ３ａ４，以此类推，也可 以用数学归纳法证明，知道一个大致的方向即可． 裂项问题： １ ａ１ａ３ ＋ １ａ２ａ４ ＋… ＋ １ａ２ｎ－３ａ２ｎ－１ ＋ １ａ２ｎ－２ａ２ｎ ＝１ａ２ １ ａ１ －１ａ( )３ ＋１ａ３ １ ａ２ －１ａ( )４ ＋… ＋ １ａ２ｎ－２ １ ａ２ｎ－３ － １ａ２ｎ( )－１ ＋ １ａ２ｎ－１ １ ａ２ｎ－２ －１ａ２( )ｎ ＝ １ａ１ａ２－ １ ａ２ｎ－１ａ２ｎ ． 注意：如果是斐波那契数列的部分项求和也可以，比如 ｐ ａｍａｍ＋２ ＋ ｐａｍ＋１ａｍ＋３ ＋… ＋ ｐａｍ＋ｎ－２ａｍ＋ｎ ＝ ｐ ａｍ＋１ａｍ － ｐａｍ＋ｎ－１ａｍ＋ｎ ，前提就是必须隔项，否则无法裂项相消． （２０２２·天河区期末）意大利人斐波那契于１２０２年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列 数：１，１，２，３，５，８，１３，……．即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为 !9#$/:3 ■■ １７７　 ■ 了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列ａｎ说法正确的是 （　　） Ａ．ａ１２＝１４４ Ｂ．ａ２０２２是偶数 Ｃ．ａ２０２２＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋…＋ａ２０２０ Ｄ．ａ２０２０＋ａ２０２４＝３ａ２０２２ 由已知，数列｛ａｎ｝满足递推关系ａｎ＋２＝ａｎ＋１＋ａｎ． 选项Ａ：ａ１２＝ａ１１＋ａ１０＝２ａ１０＋ａ９＝３ａ９＋２ａ８＝５ａ８＋３ａ７＝８ａ７＋５ａ６＝８×１３＋５×８＝１４４，故 Ａ 正确； 选项Ｂ：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，２０２２＝６７４×３，恰好能被３整 除，且ａ３为偶数，所以ａ２０２２也为偶数，故Ｂ正确； 选项Ｃ：若选项Ｃ正确，又ａ２０２２＝ａ２０２１＋ａ２０２０，则ａ２０２１＝ａ１＋ａ２＋…＋ａ２０１９，同理ａ２０２０＝ａ１＋ａ２＋ …＋ａ２０１８，ａ２０１９＝ａ１＋ａ２＋…＋ａ２０１７，依次类推，可得ａ４＝ａ１＋ａ２，故Ｃ错误； 选项Ｄ：ａ２０２４＝ａ２０２３＋ａ２０２２＝２ａ２０２２＋ａ２０２１，又 ａ２０２０＋ａ２０２４＝ａ２０２０＋２ａ２０２２＋ａ２０２１＝２ａ２０２２＋（ａ２０２０＋ ａ２０２１）＝３ａ２０２２，故Ｄ正确．故选ＡＢＤ． （２０２３·荆州期末）２０２２年１１月２３日是斐波那契纪念日，其提出过著名的“斐波那契”数 列，其著名的爬楼梯问题和斐波那契数列相似，若小明爬楼梯时一次上１或２个台阶，若 爬上第ｎ个台阶的方法数为ｂｎ，则 （　　） Ａ．ｂ７＝２１ Ｂ．ｂ１＋ｂ２＋ｂ３＋ｂ５＋ｂ７＝５１ Ｃ．ｂ２１＋ｂ ２ ２＋…＋ｂ ２ ｎ＝ｂｎ·ｂｎ＋１－１ Ｄ．ｂ