第五章 五、解三角形之正切定理篇-【老唐说题】高中数学新思路 多选+填空压轴专题

■ １４６　 ■  ＋Ｃ）＝ａｓｉｎＡ，因为Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，所以ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）＝ｓｉｎＡ，且ｓｉｎＡ≠０，所以ａ＝３ 选项Ａ：若Ｂ＋Ｃ＝２Ａ，则 Ａ＝π３，所以△ＡＢＣ的外接圆的直径２Ｒ＝ ａ ｓｉｎＡ＝２槡３，所以 Ｒ＝槡３， 所以△ＡＢＣ的外接圆的面积为π×（槡３） ２ ＝３π，选项 Ａ正确，选项 Ｂ：因为△ＡＢＣ有两解，则 ｂｓｉｎＡ ＜ａ＜ｂ，则ｂｓｉｎπ４＜３＜ｂ，解得３＜ｂ＜３槡２，所以 Ｂ错误，选项 Ｃ：由正弦定理 ａ ｓｉｎＡ＝ ｃ ｓｉｎＣ，得 ａ ｓｉｎＡ ＝ ｃｓｉｎ２Ａ，即ｃ＝２ａｃｏｓＡ＝６ｃｏｓＡ，因为△ＡＢＣ为锐角三角形，所以 ０＜Ａ＜π２ ０＜π－３Ａ＜π２ ０＜２Ａ＜π        ２ ，所以 π ６＜Ａ＜ π ４， 所以ｃ＝６ｃｏｓＡ∈（３槡２，３槡３），故选项Ｃ正确，选项Ｄ：因为ａ＝３，ｓｉｎＢ＝２ｓｉｎＣ，由正弦定理可得ｂ ＝２ｃ，Ａ＝２Ｃ，可得Ｂ＝π－３Ｃ，ａ２＝ｃ（ｃ＋ｂ），可得：ｃ＝槡３，ｂ＝２槡３，由 ｓｉｎ（π－３Ｃ）＝２ｓｉｎＣ，可 得：ｓｉｎＣｃｏｓ２Ｃ＋ｃｏｓＣｓｉｎ２Ｃ＝２ｓｉｎＣ，由ｓｉｎＣ≠０，可得：４ｃｏｓ２Ｃ－１＝２，解得：ｃｏｓ２Ｃ＝３４，故 ｃｏｓＣ＝ 槡３ ２，ｓｉｎＣ＝ １ ２，则ａ＋ｂ＋ｃ＝３＋３槡３，Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ａｂｓｉｎＣ＝ ３槡３ ２，设△ＡＢＣ的内切圆半径为 ｒ，则 ｒ＝ ２Ｓ ａ＋ｂ＋ｃ＝ ３槡３ ３＋３槡３ ＝３－槡３２ ，Ｓ△ＡＢＯ＝ １ ２ｃｒ＝ １ ２×槡３× ３－槡３ ２ ＝ ３槡３－３ ４ ，故Ｄ正确．故选ＡＣＤ． 五、解三角形之正切定理篇 （１）正切比值（射影比值）定理：ｔａｎＡ＝λｔａｎＢｃ＝（λ＋１）ｂｃｏｓＡａ ２－ｂ２ λ－１ ＝ ｃ ２ λ＋１ （λ≠０）． 证明：（充分性）因为 ｔａｎＡ＝λｔａｎＢ，所以ｓｉｎＡｃｏｓＡ＝λ ｓｉｎＢ ｃｏｓＢ，所以 ｓｉｎＡｃｏｓＢ＝λｓｉｎＢｃｏｓＡ，即 ｓｉｎＡｃｏｓＢ ＋ｓｉｎＢｃｏｓＡ＝（λ＋１）ｓｉｎＢｃｏｓＡ，故ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝ｓｉｎＣ＝（λ＋１）ｓｉｎＢｃｏｓＡ，ｃ＝（λ＋１）ｂｃｏｓＡ． 根据余弦定理，ｃ＝（λ＋１）ｂｂ ２＋ｃ２－ａ２ ２ｂｃ ，故（λ＋１）（ｂ ２－ａ２）＋（λ－１）ｃ２＝０，即ａ ２－ｂ２ λ－１ ＝ ｃ ２ λ＋１ ， 必要性反推即可，这里不详细说明． 几何背景 如下左图：ＣＤ为ＡＢ边上的高，且ＢＤ! ＝λＤＡ!，则ｔａｎＡ＝ ｈＡＤ ＝λ ｈ ＢＤ ＝λｔａｎＢ； 由于 ＡＤ ＝ｂｃｏｓＡ， ＢＤ ＝ａｃｏｓＢ＝λｂｃｏｓＡ，所以ｃ＝ ＡＤ ＋ ＢＤ ＝（λ＋１）ｂｃｏｓＡ； 由于ａ２－ｂ２＝ ＢＤ ２－ ＡＤ ２＝（λ２－１）ＡＤ ２，且ｃ２＝（１＋λ）２ ＡＤ ２，所以ａ ２－ｂ２ λ－１ ＝ ｃ ２ λ＋１ 所以，正切的比值定理也叫射影比值定理．建议大家画图记忆，以便考场中随时推导． 　　　　　　 注意：当λ＝１时，即我们上一讲介绍到的ｃ＝２ｂｃｏｓＡｓｉｎＣ＝２ｓｉｎＢｃｏｓＡ，就是等腰三角形； 当λ＝０时，ｃ＝ｂｃｏｓＡｓｉｎＣ＝ｓｉｎＢｃｏｓＡｃｏｓＢ＝０，是直角三角形，由于直角无正切值，故 λ ≠０ !8#$47./ ■■ １４７　 ■ （２）正切倒数和（底高比）定理： 公式一： １ ｔａｎＡ＋ １ ｔａｎＢ＝ λ ｔａｎＣａ ２＋ｂ２＝λ＋２ λ ｃ２； 公式二： １ ｔａｎＡ＋ １ ｔａｎＢ＝λＳ＝ ｃ２ ２λ ｓｉｎＣ＝λｓｉｎＡｓｉｎＢ，且ｂａ＋ ａ ｂ≤ λ ２ 槡 ＋４． 证明：公式一：（充分性）因为 １ ｔａｎＡ＋ １ ｔａｎＢ＝ λ ｔａｎＣ，所以 ｃｏｓＡ ｓｉｎＡ＋ ｃｏｓＢ ｓｉｎＢ＝ λｃｏｓＣ ｓｉｎＣ，所以 ｓｉｎＣｓｉｎＢｃｏｓＡ＋ｓｉｎＡｓｉｎＣｃｏｓＢ＝λｓｉｎＡｓｉｎＢｃｏｓＣ，ｂｃｃｏｓＡ＋ａｃｃｏｓＢ＝λａｂｃｏｓＣ，所以ｂ ２＋ｃ２－ａ２ ２ ＋ ａ２＋ｃ２－ｂ２ ２ ＝ λ ２（ａ ２＋ｂ２－ｃ２），所以ａ２＋ｂ２＝λ＋２ λ ｃ２必要性反向证明即可． 公式二： １ ｔａｎＡ＋ １ ｔａｎＢ＝λ ｃｏｓＡ ｓｉｎＡ＋ ｃｏｓＢ ｓｉｎＢ＝λｓｉｎＢｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢｓｉｎＡ＝ｓｉｎＣ＝λｓｉｎＡｓｉｎＢ Ｓ＝１２ａｂｓｉｎＣ＝ １ ２ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣ·４Ｒ ２＝１２λ ｓｉｎ２Ｃ·４Ｒ２＝ｃ ２ ２λ ， ｂ ａ＋ ａ ｂ＝ ａ２＋ｂ２ ａｂ ＝ ２ａｂｃｏｓＣ＋ｃ２ ａｂ ＝２ｃｏｓＣ ＋ ｓｉｎ ２Ｃ ｓｉｎＡｓｉｎＢ＝２ｃｏｓＣ＋λｓｉｎＣ＝ λ ２ 槡 ＋４ｓｉｎ（Ｃ＋φ）≤ λ ２ 槡 ＋４其中ｔａｎφ＝ ２( )λ 几何背景 　　　　　　　　 １ ｔａｎＡ＋ １ ｔａｎＢ＝ λ ｔａｎＣ型