第五章 三、解三角形正余弦定理篇-【老唐说题】高中数学新思路 多选+填空压轴专题

■ １３４　 ■  ＰＢ!·ＣＡ! ＝０，所以ＰＢ⊥ＣＡ，同理ＰＡ⊥ＢＣ，所以Ｐ为△ＡＢＣ的垂心，所以Ｄ选项正确．故选ＣＤ． （２０２３·鲤城区期中）在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝３，ＢＣ＝４，Ｏ为△ＡＢＣ内的一点，设ＡＯ! ＝λ ＡＢ! ＋μＡＣ!，则下列说法正确的是 （　　） Ａ．若Ｏ为△ＡＢＣ的重心，则λ＋μ＝２３ Ｂ．若Ｏ为△ＡＢＣ的内心，则λ＋μ＝ ２ ５ Ｃ．若Ｏ为△ＡＢＣ的外心，则λ＋μ＝９１０ Ｄ．若Ｏ为△ＡＢＣ的垂心，则λ＋μ＝ １ ５ 对于Ａ选项，重心为中线交点，ＡＯ! ＝λＡＢ! ＋μＡＣ! ＝１３ＡＢ ! ＋１３ＡＣ ! ，所以 λ＋μ＝２３（根据等 和线也能轻松得出），故Ａ正确； 对于Ｂ选项，根据内心定理，即 ４ＯＡ! ＋３ＯＢ! ＋３ＯＣ! ＝０，所以ＡＯ! ＝３４ＯＢ ! ＋３４ＯＣ ! ＝３４（ＡＢ ! －ＡＯ!） ＋３４（ＡＣ ! －ＡＯ!），所以５２ＡＯ ! ＝３４ＡＢ ! ＋３４ＡＣ ! ，λ＋μ＝３５，故Ｂ错误； 对于Ｃ选项，外心为垂直平分线交点，即△ＡＢＣ的外接圆圆心，因为ＡＢ＝ＡＣ＝３，设Ｄ为边ＢＣ 的中点，所以ＡＤ! ＝１２（ＡＢ ! ＋ＡＣ!），且 ＡＤ ＝ ３２－２槡 ２＝槡５，根据垂径定理， ＢＯ ２＝ ＢＤ ２＋ ＯＤ ２， 即Ｒ２＝４＋（槡５－Ｒ） ２ ，解得：Ｒ＝９槡５１０，因为ＡＯ ! ＝λＡＢ! ＋μＡＣ!，根据等和线知识，所以λ＋μ＝ ＲＡＤ ＝ ９ １０，故Ｃ正确； 对于Ｄ选项，垂心为高线交点，设ＢＥ⊥ＡＣ，垂足为边ＡＣ上点Ｅ，则Ｂ，Ｅ，Ｏ共线，易知ｃｏｓＢ ＝ｃｏｓＣ＝２３，故 ＣＥ ＢＣ ＝ ２ ３，所以 ＣＥ ＝ ８ ３， ＢＥ ＝ ４ ３槡５，利用相似三角形性质： ＯＤ ＥＣ ＝ ＢＤ ＢＥ，所 以 ＯＤ ＝４５槡５，根据等和线知识λ＋μ＝ ＡＯ ＡＤ ＝ 槡５ ５ 槡５ ＝１５，故Ｄ正确；故选ＡＣＤ． 三、解三角形正余弦定理篇 １ Ÿ WX 在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别是ａ，ｂ，ｃ，则有 余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两 边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡ， ｂ２＝ａ２＋ｃ２－２ａｃｃｏｓＢ， ｃ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓＣ 推论 ｃｏｓＡ＝ｂ ２＋ｃ２－ａ２ ２ｂｃ ， ｃｏｓＢ＝ａ ２＋ｃ２－ｂ２ ２ａｃ ， ｃｏｓＣ＝ａ ２＋ｂ２－ｃ２ ２ａｂ !8#$47./ ■■ １３５　 ■ 　　２ ¢ WX 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ａ ｓｉｎＡ＝ ｂ ｓｉｎＢ＝ ｃ ｓｉｎＣ＝２Ｒ．我们来看一下变 形公式： （１）ａ＝２ＲｓｉｎＡ，ｂ＝２ＲｓｉｎＢ，ｃ＝２ＲｓｉｎＣ． （２）ｓｉｎＡ＝ａ２Ｒ，ｓｉｎＢ＝ ｂ ２Ｒ，ｓｉｎＣ＝ ｃ ２Ｒ（其中Ｒ是△ＡＢＣ外接圆的半径）． （３）Ｓ＝１２ａｂｓｉｎＣ＝ １ ２ａｃｓｉｎＢ＝ １ ２ｂｃｓｉｎＡ ３ ;<_¾¿KL （１）由于全等三角形的证明中没有边边角这一类，其实就是两条边和一条边所对的角为已知时， 不能确定一个三角形，即ａ、ｂ、Ａ，（ａ＞ｂ）当大边所对角为未知量，则会出现两个解的情况，唯一 要保证的是这个未知角求得的正弦值小于１；当小边所对的角未知时，通常有唯一解． Ａ为锐角 Ａ为钝角或直角 图形 关系式 ａ＝ｂｓｉｎＡ ｂｓｉｎＡ＜ａ＜ｂ ａ≥ｂ ａ＞ｂ ａ≤ｂ 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 　　４ ÀÁWX 在△ＡＢＣ中，ａ＝ｂｃｏｓＣ＋ｃｃｏｓＢ，ｂ＝ｃｃｏｓＡ＋ａｃｏｓＣ，ｃ＝ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ． ５ ÂÃı«Å¡S （１）余弦定理推导式：（ａ＋ｂ－ｃ）（ａ＋ｂ＋ｃ）＝ ａ＋( )ｂ２－ｃ２＝２ａｂ１＋ｃｏｓ( )Ｃ，（把 ａ＋( )ｂ当做一个 整体） （２）面积公式推导式： Ｓ＝１２ａｂｓｉｎＣ＝ １ ２ ａ２＋ｂ２－ｃ２ ２ｃｏｓＣ ｓｉｎＣ＝ １ ４（ａ ２＋ｂ２－ｃ２）ｔａｎＣ． ２ａｂｃｏｓＣ＝ａ２＋ｂ２－ｃ２２ａｂ１＋ｃｏｓ( )Ｃ ＝ ａ＋( )ｂ２－ｃ２ａｂ＝ ａ＋( )ｂ ２－ｃ２ ２１＋ｃｏｓ( )Ｃ，又Ｓ＝ １ ２ａｂｓｉｎＣ 椭圆灵动焦点三角形面积公式：Ｓ＝１４ ａ＋( )ｂ ２－ｃ[ ]２ ｓｉｎＣ１＋ｃｏｓＣ＝ １ ４ ａ＋( )ｂ ２－ｃ[ ]２ ｔａｎＣ２． 同理２ａｂ －１＋ｃｏｓ( )Ｃ ＝ ａ－( )ｂ２－ｃ２ａｂ＝ ａ－( )ｂ ２－ｃ２ ２ －１＋ｃｏｓ( )Ｃ，代入Ｓ＝ １ ２ａｂｓｉｎＣ 双曲线灵动焦点三角形面积公式：Ｓ＝１４ ａ－( )ｂ ２－ｃ[ ]２ ｓｉｎＣ－１＋ｃｏｓＣ＝ １ ４ ｃ ２－ ａ－( )ｂ[ ]２ １ ｔａｎＣ２ ． ６ £ÅWsw 构造三角形用万能辅助角，如图，若Ｐ在边ＢＣ上，