第五章 二、四心定理篇-【老唐说题】高中数学新思路 多选+填空压轴专题

!8#$47./ ■■ １２７　 ■ 交直线ＡＢ，ＡＣ于不同的两点Ｍ，Ｎ，设ＡＢ! ＝ｍＡＭ!，ＡＣ! ＝ｎＡＮ!，其中 ｍ＞０，ｎ＞０，则下 列结论正确的是 （　　） Ａ．ＡＯ! ＝２３ＡＢ ! ＋１３ＡＣ ! Ｂ．ＡＯ! ＝１３ＡＢ ! ＋２３ＡＣ ! Ｃ．２ｍ＋ｎ＝３ Ｄ．ｍ＋２ｎ＝３ ＡＯ! ＝２３ＡＢ ! ＋１３ＡＣ ! ，故Ａ正确；因为ＡＢ! ＝ｍＡＭ!，ＡＣ! ＝ｎＡＮ!，其中 ｍ＞０，ｎ＞０，所以ＡＯ! ＝２３·ｍＡＭ ! ＋１３·ｎＡＮ ! ，因为 Ｍ，Ｏ，Ｎ三点共线，所以２３·ｍ＋ １ ３·ｎ＝１，所以２ｍ＋ｎ＝３，故 Ｃ 正确；故选ＡＣ． （２０２２·辽宁月考）已知△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝槡２，ＢＣ＝２，Ｄ是边 ＢＣ的中点，动点 Ｐ满 足ＰＤ＝１，ＡＰ! ＝ｘＡＢ! ＋ｙＡＣ!，则 （　　） Ａ．ｘ＋ｙ的值可以等于２ Ｂ．ｘ－ｙ的值可以等于２ Ｃ．２ｘ＋ｙ的值可以等于－１ Ｄ．ｘ＋２ｙ的值可以等于３ 连接ＡＤ，因为ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是边ＢＣ的中点，所以ＡＤ⊥ＢＣ，因为ＰＤ＝１，所以点Ｐ的轨 迹为以Ｄ为圆心，１为半径的圆，根据等和线知识，如图１，ＢＣ为１线，当Ｐ位于圆的最下端点时， ｘ＋ｙ＝２，故Ａ正确； 　　　 　　　 　　　 　　　 图１　　　　　　　　　　　图２　　　　　　　　　　图３　　　　　　　　　　图４ 如图２，反向延长ＡＣ到Ｅ，使ＡＥ! ＝－ＡＣ!，故ＢＥ为ｘ－ｙ的等差１线，－１≤ｘ－ｙ≤１，所以ｘ－ｙ 的值不可以为２，故Ｂ错误； 如图３，取ＡＢ中点 Ｍ，易知 ＣＭ即为 ｘ＋２ｙ的１线，反向延长 ＡＭ，使ＡＮ! ＝－ＡＭ!，此时作 ｌ∥ ＣＭ，此时Ｐ位于－１线上，但不在圆上，故Ｃ错误； 如图４，取ＡＣ中点Ｍ，易知ＢＭ即为２ｘ＋ｙ的１线，延长ＡＤ交圆于点Ｎ，过Ｎ作ｌ∥ＢＭ，我们 分别根据对称性，过Ａ作出０线，过 Ｃ作出２线，则此时 Ｐ位于３线上，有两个点满足 ｘ＋２ｙ＝３， 故Ｄ正确，故选ＡＤ． 二、四心定理篇 １̧ BWXE¹ºWX 如图，已知△ＡＢＣ的顶点Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｃ（ｘ３，ｙ３），则△ＡＢＣ的重心坐标为Ｇ（ｘ，ｙ）． ■ １２８　 ■  （１）重心定理：①在△ＡＢＣ中，若Ｇ为重心，则ＡＧ! ＝１３ＡＢ ! ＋１３ＡＣ !． ②ＧＡ! ＋ＧＢ! ＋ＧＣ! ＝０．③ ｘ＝ ｘ１＋ｘ２＋ｘ３ ３ ｙ＝ ｙ１＋ｙ２＋ｙ３      ３ ④三角形的重心分中线两段线段长度比为２：１，且分的三个三角形面积相等． （２）奔驰定理：若ＳＡ·ＯＡ ! ＋ＳＢ·ＯＢ ! ＋ＳＣ·ＯＣ ! ＝０，则Ｓ△ＡＯＢ：Ｓ△ＡＯＣ：Ｓ△ＢＯＣ＝ＳＣ：ＳＢ：ＳＡ； （２０２２·历城区月考）点Ｐ是△ＡＢＣ所在平面内一点，且ＡＰ! ＝ｘＡＢ! ＋ｙＡＣ!，下列说法正确 的是 （　　） Ａ．若ｘ＝ｙ＝１２，则点Ｐ是边ＢＣ的中点 Ｂ．若点Ｐ是边ＢＣ靠近Ｂ点的三等分点，则ｘ＝１３，ｙ＝ ２ ３ Ｃ．若点Ｐ在ＢＣ边的中线上且ｘ＋ｙ＝１２，则点Ｐ是△ＡＢＣ的重心 Ｄ．若ｘ＋ｙ＝２，则△ＰＢＣ与△ＡＢＣ的面积相等 根据对面女孩看过来性质，此时满足中线定理，Ａ显然正确； 对于Ｂ：当ｘ＝１３，ｙ＝ ２ ３时，点Ｐ是边ＢＣ靠近Ｃ点的三等分点，故错误； 对于Ｃ：点Ｐ在ＢＣ边的中线上且ｘ＋ｙ＝１２，点Ｐ为ＢＣ边的中线的中点，故不是重心； 对于Ｄ：设ＡＭ! ＝２ＡＢ!，ＡＮ! ＝２ＡＣ!，则ＡＰ! ＝ｘ２ＡＭ ! ＋ｙ２ＡＮ ! ， ｘ ２＋ ｙ ２＝１，故点Ｐ在直线ＭＮ上，点 Ｐ与点Ａ到ＢＣ边的距离相等，故△ＰＢＣ与△ＡＢＣ的面积相等．故选ＡＤ． （２０２２·江宁区期末）已知点Ｏ为△ＡＢＣ所在平面内一点，且２ＯＡ! ＋３ＯＢ! ＋４ＯＣ! ＝０，则下 列选项正确的有 （　　） Ａ．ＡＯ! ＝１３ＡＢ ! ＋４９ＡＣ ! Ｂ．直线ＡＯ过ＢＣ边的中点 Ｃ．Ｓ△ＡＯＢ：Ｓ△ＢＯＣ＝２：１ Ｄ．若 ＯＡ! ＝ ＯＢ! ＝ ＯＣ! ＝１，则ＯＣ!·ＡＢ! ＝－３１６ 对于Ａ，因为 ２ＯＡ! ＋３ＯＢ! ＋４ＯＣ! ＝０，所以２ＡＯ! ＝３ＯＡ! ＋３ＡＢ! ＋４ＯＡ! ＋４ＡＣ!，所以ＡＯ! ＝１３ ＡＢ! ＋４９ＡＣ ! ，故Ａ正确； !8#$47./ ■■ １２９　 ■ 对于Ｂ，若直线ＡＯ过ＢＣ边的中点Ｄ，则ＡＯ! ＝λＡＤ! ＝λ×１２（ＡＢ ! ＋ＡＣ!）与Ａ矛盾，故Ｂ错误； 对于Ｃ，由奔驰定理得：Ｓ△ＢＯＣ×ＯＡ ! ＋Ｓ△ＡＯＣ×ＯＢ ! ＋Ｓ△ＡＯＢ×ＯＣ ! ＝０，所以Ｓ△ＢＯＣ：Ｓ△ＡＯＣ：Ｓ△ＡＯＢ＝２： ３：４，故Ｃ正确； 对于Ｄ，因为 ２ＯＡ! ＋３ＯＢ! ＋４ＯＣ! ＝０，所以 ２ＯＡ! ＋３ＯＢ! ＝－４ＯＣ!，所以４ＯＡ! ２＋１２ＯＡ!·ＯＢ! ＋９ ＯＢ! ２＝１６ＯＣ! ２，