第五章 一、基底运算篇-【老唐说题】高中数学新思路 多选+填空压轴专题

■■ １１５　 ■ ５!　 CDE@AF; )0+,3G0+,3B0.5+,B0+2)0,3>0+, 向量解三角形在新教教材中实现了合体，这也意味着灵活度增加，本章节解三角形更多在解答 题出现，向量和三角形综合的则在小题中出现，本章是除了圆锥曲线以外，二级结论的最多的，学 好本章，一定要反复推导结论，还要加强阅读理解． 一、基底运算篇 题型一：共线向量表示 平面上Ｏ，Ａ，Ｂ三点不共线，Ｄ在直线 ＡＢ上，且ＡＤ! ＝λＡＢ!，令ＯＡ! ＝ａ，ＯＢ! ＝ｂ，ＯＤ! ＝ｘ，则有 ｘ＝λｂ＋（１－λ）ａ 其表达意思就是从一个顶点Ｏ引出三个向量，且它们终点共线，每一个向量ａ，ｂ分别乘以它对 面的比值，简称对面的女孩看过来． 特殊点：当Ｄ为ＡＢ中点时，λ＝１２，ｘ＝ １ ２ｂ＋ １ ２ａ（中线定理） （２０２２·新高考Ⅰ）在△ＡＢＣ中，点 Ｄ在边 ＡＢ上，ＢＤ＝２ＤＡ．记ＣＡ! ＝ｍ，ＣＤ! ＝ｎ，则ＣＢ! ＝ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３ｍ－２ｎ Ｂ．－２ｍ＋３ｎ Ｃ．３ｍ＋２ｎ Ｄ．２ｍ＋３ｎ 解法一：如图，ＣＤ! ＝ＣＡ! ＋ＡＤ! ＝ＣＡ! ＋１２ＤＢ ! ＝ＣＡ! ＋１２（ＣＢ ! －ＣＤ!）＝ＣＡ! ＋１２ＣＢ ! －１２ＣＤ ! ，所以 １ ２ＣＢ ! ＝３２ＣＤ ! －ＣＡ!，即ＣＢ! ＝３ＣＤ! －２ＣＡ! ＝３ｎ－２ｍ． 解法二：因为ＢＤ＝２ＤＡ，所以ＡＢ! ＝３ＡＤ!，ＢＤ! ＝－２ＡＤ!，根据对面女孩看过来，ＣＢ! ＝３ＣＤ! －２ＣＡ! ＝３ｎ－２ｍ，故选Ｂ． （２０２２·甘肃期末）在△ＡＢＣ中，Ｍ，Ｎ分别是线段ＡＢ，ＡＣ上的点，ＣＭ与ＢＮ交于Ｐ点， 若ＡＰ! ＝３７ＡＢ ! ＋１７ＡＣ ! ，则 （　　） ■ １１６　 ■  Ａ．ＡＭ! ＝ＭＢ! Ｂ．ＡＭ! ＝２ＭＢ! Ｃ．ＡＮ! ＝３ＮＣ! Ｄ．ＡＮ! ＝１３ＮＣ ! 设ＡＭ! ＝ｘＡＢ!，ＡＮ! ＝ｙＡＣ!，由ＡＰ! ＝３７ＡＢ ! ＋１７ＡＣ ! ，可得ＡＰ! ＝３７ｘＡＭ ! ＋１７ＡＣ ! ，ＡＰ! ＝３７ＡＢ ! ＋１７ｙ ＡＮ!，因为Ｃ，Ｐ，Ｍ共线，Ｎ，Ｐ，Ｂ共线，所以 ３ ７ｘ＋ １ ７＝１ ３ ７＋ １ ７ｙ { ＝１，所以 ｘ＝ １ ２ ｙ＝１{ ４，故ＡＭ! ＝１２ＡＢ!，ＡＮ! ＝１４ ＡＣ!，即ＡＭ! ＝ＭＢ!，ＡＮ! ＝１３ＮＣ !．故选ＡＤ． （２０２２·广东月考）设ａ与ｂ是两个不共线向量，关于向量ａ＋λｂ，（λ－１）ａ＋２λｂ，－（ｂ －２ａ），则下列结论中正确的是 （　　） Ａ．当λ＞１时，向量ａ＋λｂ，（λ－１）ａ＋２λｂ不可能共线 Ｂ．当λ＞－３时，向量ａ＋λｂ，－（ｂ－２ａ）可能出现共线情况 Ｃ．若ａ·ｂ＝０，且ａ，ｂ为单位向量，则当λ＞－３时，向量（λ－１）ａ＋２λｂ，－（ｂ－２ａ） 可能出现垂直情况 Ｄ．当λ＝２时，向量ａ－λｂ与－２２ｂ－( )ａ平行 对于Ａ，假设ａ＋λｂ与（λ－１）ａ＋２λｂ可能共线，则２λ＝λ（λ－１），解得 λ＝０或 λ＝３， 则当λ＞１时，向量ａ＋λｂ，（λ－１）ａ＋２λｂ可能共线，此时λ＝３，故Ａ错误； 对于Ｂ，假设ａ＋λｂ与－（ｂ－２ａ）共线，则１×（－１）＝２λ，解得λ＝－１２，则当λ＞－３时，向 量ａ＋λｂ，－（ｂ－２ａ）可能共线，此时λ＝－１２，故Ｂ正确； 对于Ｃ，因为［（λ－１）ａ＋２λｂ］·［－（ｂ－２ａ）］＝（１－λ）ａ·ｂ＋２（λ－１）ａ２－２λｂ２＋４λａ·ｂ＝－ ２≠０，所以向量（λ－１）ａ＋２λｂ，－（ｂ－２ａ）不可能垂直，故Ｃ错误； 对于Ｄ，当λ＝２时，ａ－λｂ＝ａ－２ｂ， －２（２ｂ－ａ）＝２ａ－４ｂ，所以 ａ－λｂ＝１２［－２（２ｂ－ａ）］， 则向量ａ－λｂ与－２（２ｂ－ａ）平行，故Ｄ正确．故选ＢＤ． （２０２２·濮阳开学）如图，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＤＣ且ＡＢ＝２ＤＣ，ＢＥ! ＝３ＥＣ!，ＡＦ! ＝２ＦＤ!， ＡＥ与ＢＦ交于点Ｏ，则ＡＯ! ＝ （　　） Ａ．３７ＡＢ ! ＋４７ＢＣ ! Ｂ．４７ＡＢ ! ＋３７ＢＣ ! Ｃ．４５ＡＢ ! ＋３５ＢＣ ! Ｄ．２７ＡＢ ! ＋３７ＢＣ ! 设ＡＯ! ＝λＡＢ! ＋（１－λ）ＡＦ! ＝λＡＢ! ＋２（１－λ）３ ＡＤ ! ，ＢＯ! ＝μＢＡ! ＋（１－μ）ＢＥ! ＝－μＡＢ! ＋３（１－μ）４ ＢＣ! ＝－μＡＢ! ＋３（１－μ）４ （－ＡＢ ! ＋ＡＤ! ＋１２ＡＢ ! ）＝－５μ－３８ ＡＢ ! ＋３－３μ４ ＡＤ ! ，又ＢＯ! ＝ＡＯ! －ＡＢ! ＝（λ－１）ＡＢ! ＋ ２（１－λ） ３ ＡＤ ! ，所以 λ－１＝－５μ－３８ ２（１－λ） ３ ＝ ３－３μ{ ４ ，解得μ＝３７，所以ＢＯ ! ＝－３７ＡＢ ! ＋３７ＢＣ ! ，所以ＡＯ! ＝ＡＢ!