第四章 二、图象变化篇-【老唐说题】高中数学新思路 多选+填空压轴专题

■ ９６　 ■  二、图象变化篇 题型一：弧度制与弧长面积 １．１弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做１弧度的角，弧度用符号ｒａｄ表示． ２．角α的弧度数：如果半径为ｒ的圆的圆心角α所对弧的长为ｌ，那么ｌ＝ｒα，角α的弧度数的 绝对值是 α ＝ｌｒ ３．角度与弧度的换算①１°＝π１８０ｒａｄ；②１ｒａｄ＝ １８０° π ４．弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为 ｌ，圆心角大小为 α( )ｒａｄ（０＜α＜２π），半径为 ｒ， 又ｌ＝ｒα，则扇形的面积为Ｓ＝１２ｌ·ｒ＝ １ ２· α·ｒ ２ （２０２２·甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度 的“会圆术”．如图， ) ＡＢ是以Ｏ为圆心，ＯＡ为半径的圆弧，Ｃ是 ＡＢ的中点，Ｄ在 ) ＡＢ上， ＣＤ⊥ＡＢ．“会圆术”给出 ) ＡＢ的弧长的近似值 ｓ的计算公式：ｓ＝ＡＢ＋ＣＤ ２ ＯＡ．当 ＯＡ＝２， ∠ＡＯＢ＝６０°时，ｓ＝ （　　） Ａ．１１－３槡３２ Ｂ． １１－４槡３ ２ Ｃ． ９－３槡３ ２ Ｄ． ９－４槡３ ２ 因为ＯＡ＝ＯＢ＝２，∠ＡＯＢ＝６０°，所以 ＡＢ＝２，因为 Ｃ是 ＡＢ的中点，Ｄ在 ) ＡＢ上，ＣＤ⊥ ＡＢ，所以延长ＤＣ可得Ｏ在ＤＣ上，ＣＤ＝ＯＤ－ＯＣ＝２－槡３，所以 ｓ＝ＡＢ＋ ＣＤ２ ＯＡ＝２＋ （２－槡３） ２ ２ ＝２＋ ７－４槡３ ２ ＝ １１－４槡３ ２ ．故选Ｂ． （２０１９·北京）如图，Ａ，Ｂ是半径为２的圆周上的定点，Ｐ为圆周上的动点，∠ＡＰＢ是锐 角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为 （　　） 　　　　　　 Ａ．４β＋４ｃｏｓβ Ｂ．４β＋４ｓｉｎβ Ｃ．２β＋２ｃｏｓβ Ｄ．２β＋２ｓｉｎβ 由题意可得∠ＡＯＢ＝２∠ＡＰＢ＝２β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线ＱＯ⊥ＡＢ，即 !6#$47./3 ■■ ９７　 ■ 有ＱＯ＝２，Ｑ到线段ＡＢ的距离为２＋２ｃｏｓβ，ＡＢ＝２·２ｓｉｎβ＝４ｓｉｎβ，扇形ＡＯＢ的面积为１２·２β·４＝ ４β，△ＡＢＱ的面积为１２（２＋２ｃｏｓβ）·４ｓｉｎβ＝４ｓｉｎβ＋４ｓｉｎβｃｏｓβ＝４ｓｉｎβ＋２ｓｉｎ２β，Ｓ△ＡＯＱ＋Ｓ△ＢＯＱ＝４ｓｉｎβ ＋２ｓｉｎ２β－１２·２·２ｓｉｎ２β＝４ｓｉｎβ，即有阴影区域的面积的最大值为４β＋４ｓｉｎβ．故选Ｂ． 题型二：ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）＋Ｂ的性质 知识点：正弦函数、余弦函数与正切函数的图象 １ ¢ ¨w8W© （１）正弦函数ｙ＝ｓｉｎｘ，ｘ∈Ｒ的图象叫正弦曲线． （２）五点法： ①画出正弦曲线在［０，２π］上的图象的五个关键点（０，０）， π２，( )１，（π，０）， ３π２，( )－１， （２π，０），用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、向右平行移动２π个单位长度． ２ Ÿ ¨w8W© （１）余弦函数ｙ＝ｃｏｓｘ，ｘ∈Ｒ的图象叫余弦曲线． （２）要得到ｙ＝ｃｏｓｘ的图象，只需把ｙ＝ｓｉｎｘ的图象向左平移π２个单位长度即可，这是由于ｃｏｓｘ ＝ｓｉｎｘ＋π( )２ ． （３）用“五点法”：画余弦曲线 ｙ＝ｃｏｓｘ在［０，２π］上的图象时，所取的五个关键点分别为（０， １）， π２，( )０，（π，－１）， ３π２，( )０，（２π，１），再用光滑的曲线连接． ３ ¢ ª Ÿ 348«¬7 正弦函数ｙ＝ｓｉｎｘ（ｘ∈Ｒ）和余弦函数ｙ＝ｃｏｓｘ（ｘ∈Ｒ）都是周期函数，２ｋπ（ｋ∈Ｚ，且ｋ≠０）都是 它们的周期．最小正周期为２π． ４正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． ５正弦函数ｙ＝ｓｉｎｘ与ｙ＝Ａｓｉｎωｘ＋( )φ ω( )＞０的图象性质关系 ■ ９８　 ■  ｙ＝ｓｉｎｘ ｙ＝Ａｓｉｎωｘ＋( )φ 周期 ２π ２πω 定义域 Ｒ Ｒ 最大值 １，ｘ＝２ｋπ＋π２取得 Ａ，当ｘ＝ ２ｋπ＋π２－φ ω 取得 最小值 －１，当ｘ＝２ｋπ＋３π２取得 －Ａ，当ｘ＝ ２ｋπ＋３π２－φ ω 取得 单调增区间 ２ｋπ－π２，２ｋπ＋ π[ ]２ ２ｋπ－ π ２－φ ω ， ２ｋπ＋π２－φ[ ] ω 单调减区间 ２ｋπ＋π２，２ｋπ＋ ３π[ ]２ ２ｋπ＋ π ２－φ ω ， ２ｋπ＋３π２－φ[ ] ω 对称轴 ｘ＝ｋπ＋π２ ｘ＝ ｋπ＋π２－φ ω 对称中心 ｋπ，( )０ ｋπ－φω ，( )０ 　　类比于研究ｙ＝ｓｉｎｘ的性质，只需将ｙ＝Ａｓｉｎωｘ＋( )φ中的ωｘ＋φ看成ｙ＝ｓｉｎｘ中的ｘ，但在求ｙ＝ Ａｓｉｎωｘ＋( )φ的单调区间时，要特别注意Ａ和ω的符号，通过诱导公式先将ω化为正数．研究函数ｙ ＝Ａｃｏｓωｘ＋( )φ，ｙ＝Ａｔａｎωｘ＋( )φ的性质的方法与其类似，也是类比、转化． 函数ｙ＝ｔａｎｘ的图象与性质 解析式 ｙ＝ｔａｎｘ 图象 定义域 ｘ≠ｋπ＋π２，ｋ