第四章 一、恒等变形篇-【老唐说题】高中数学新思路 多选+填空压轴专题

■ ８６　 ■  ４!　 @A67; 5+,B0+24+,54*>0+, 三角函数主要考查图象变化和三角恒等变形，除了 ω函数涉及一些有难度的卡根变形以外，本 章节不是难点，一定是要全部拿下的． 一、恒等变形篇 １ <EMž8Ÿ ¡S ：ｃｏｓ（α－β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ ｃｏｓ（α＋β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ ２ <EMž8¢ ¡S ：ｓｉｎ（α＋β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ ｓｉｎ（α－β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ ３ <EMž8¢v¡S ：ｔａｎ（α＋β）＝ｔａｎα＋ｔａｎβ１－ｔａｎαｔａｎβ （α，β，α＋β≠ｋπ＋π２（ｋ∈Ｚ）） ｔａｎ（α－β）＝ｔａｎα－ｔａｎβ１＋ｔａｎαｔａｎβ （α，β，α－β≠ｋπ＋π２（ｋ∈Ｚ）） ４ „£<¡S ５ ¤<¡S ｓｉｎα２＝± １－ｃｏｓα 槡 ２ ，ｃｏｓα２＝± １＋ｃｏｓα 槡 ２ ，ｔａｎα２＝± １－ｃｏｓα １＋ｃｏｓ槡 α ＝ ｓｉｎα１＋ｃｏｓα ＝１－ｃｏｓαｓｉｎα ． ６ ¥¦<¡S 第一类：一次辅助角：ｆ( )ｘ＝ａｓｉｎｘ±ｂｃｏｓｘ ｆ( )ｘ＝ａｓｉｎｘ±ｂｃｏｓｘ＝ ａ２＋ｂ槡 ２ｓｉｎ（ｘ±φ）辅助角φ由点（ａ，ｂ）决定，ｔａｎφ＝ｂ( )ａ． 例如：ｓｉｎα±ｃｏｓα＝ １２＋１槡 ２ｓｉｎ（α±φ）＝槡２ｓｉｎα± π( )４ ｓｉｎα±槡３ｃｏｓα＝ １ ２＋ 槡( )３槡 ２ｓｉｎ（α±φ）＝２ｓｉｎα±π( )３ ，槡３ｓｉｎα±ｃｏｓα＝２ｓｉｎα±π( )６ 第二类：二次辅助角：ｆ( )ｘ＝ａｓｉｎωｘｃｏｓωｘ±ｂｃｏｓ２ωｘａ，ｂ( )＞０ ｆ( )ｘ＝ａ２ｓｉｎ２ωｘ± ｂ ２ ｃｏｓ２ωｘ( )＋１ ＝ ａ２＋ｂ槡 ２ ２ ｓｉｎ２ωｘ±( )φ ± ｂ ２ ｔａｎφ＝ ｂ( )ａ 题型一：齐次化模型 §usS ：分子分母的正余弦次数相同．例如：ａｓｉｎα＋ｂｃｏｓαｃｓｉｎα＋ｄｃｏｓα （一次显型齐次化）． !6#$47./3 ■■ ８７　 ■ 或者 ａｓｉｎ２α＋ｂｃｏｓ２α＋ｃｓｉｎαｃｏｓαａｓｉｎ ２α＋ｂｃｏｓ２α＋ｃｓｉｎαｃｏｓα ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α （二次隐型齐次化） 这种类型题，分子分母同除以ｃｏｓα（一次显型）或者ｃｏｓ２α（二次隐型），构造成 ｔａｎα的式子，这 个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到． （２０２１·邯郸二模）当０＜ｘ＜π４时，函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ２ｘ ｓｉｎ２ｘ－ｃｏｓｘｓｉｎｘ 的最大值为　　　　． 由于 ０＜ｘ＜π４，所以 ０＜ｔａｎｘ＜１，所以 ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ２ｘ ｓｉｎ２ｘ－ｃｏｓｘｓｉｎｘ ＝ １ ｔａｎ２ｘ－ｔａｎｘ ＝ １ ｔａｎｘ－１( )２ ２ －１４ ，当ｔａｎｘ＝１２时，函数ｆ（ｘ）的最大值为－４故答案为－４ （２０２１·新高考Ⅰ）若ｔａｎθ＝－２，则ｓｉｎθ（１＋ｓｉｎ２θ）ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ ＝ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．－６５ Ｂ．－ ２ ５ Ｃ． ２ ５ Ｄ． ６ ５ 由 题 意 可 得： ｓｉｎθ（１＋ｓｉｎ２θ） ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ ＝ ｓｉｎθ（ｓｉｎ ２θ＋ｃｏｓ２θ＋２ｓｉｎθｃｏｓθ） ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ ＝ ｓｉｎθｓｉｎθ＋ｃｏｓθ · ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＋２ｓｉｎθ·ｃｏｓθ ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ ＝ ｔａｎθｔａｎθ＋１ · ｔａｎ２θ＋２ｔａｎθ＋１ ｔａｎ２θ＋１ ＝２５．故选Ｃ． 题型二：和差角恒等变化 （２０２１·乙卷）函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ３＋ｃｏｓ ｘ ３的最小正周期和最大值分别是 （　　） Ａ．３π和槡２ Ｂ．３π和２ Ｃ．６π和槡２ Ｄ．６π和２ 因为ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ３＋ｃｏｓ ｘ ３＝槡２ｓｉｎ ｘ ３＋ π( )４ ，所以Ｔ＝２π１ ３ ＝６π．当ｓｉｎ ｘ３＋ π( )４ ＝１时，函 数ｆ（ｘ）取得最大值槡２；所以函数ｆ（ｘ）的周期为６π，最大值槡２．故选Ｃ． （２０２１·乙卷）ｃｏｓ２π１２－ｃｏｓ ２５π １２＝ （　　） Ａ．１２ Ｂ． 槡３ ３ Ｃ． 槡２ ２ Ｄ． 槡３ ２ ｃｏｓ２π１２－ｃｏｓ ２５π １２＝ｃｏｓ ２π １２－ｓｉｎ ２π １２＝ｃｏｓ π ６＝ 槡３ ２．故选Ｄ． （２０２２·新高考Ⅱ）若ｓｉｎ（α＋β）＋ｃｏｓ（α＋β）＝２槡２ｃｏｓα＋ π( )４ ｓｉｎβ，则 （　　） Ａ．ｔａｎ（α－β）＝１ Ｂ．ｔａｎ（α＋β）＝１ Ｃ．ｔａｎ（α－β）＝－１ Ｄ．ｔａｎ（α＋β）＝－１ 解法一：因为ｓｉｎ（α＋β）＋ｃｏｓ（α＋β）＝２槡２ｃｏｓα＋ π( )４ ｓｉｎβ，所以槡２ｓｉｎα＋β＋π( )４ ＝２