第三章 一、切线篇-【老唐说题】高中数学新思路 多选+填空压轴专题

■ ４８　 ■  ３!　 ?7; =+254*>0+, 限于篇幅，本章仅对导数常考热点题型进行剖析，包括切线篇，零点篇，双变量篇和比大小篇， 导数的小题和大题差别很大，小题要结论，要快解，不需要解答题那样的每一步清晰交代，完整体 现“小题小做”的思想． 一、切线篇 （１）导数的几何意义： 函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处的导数的几何意义就是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（ｘ０，ｆ（ｘ０））处的切线的斜率． 注：（ｋ＝ｆ′（ｘ）＝ｔａｎα） 切线方程ｙ－ｆ（ｘ０）＝ｆ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０）的计算： （２）在点Ａ（ｘ０，ｙ０）处的切线方程：ｙ－ｆ（ｘ０）＝ｆ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０），抓住关键： ｙ０＝ｆ（ｘ０） ｋ＝ｆ′（ｘ０{ ） （３）过点Ａ（ｘ１，ｙ１）的切线方程：设切点为 Ｐ（ｘ０，ｙ０），则斜率 ｋ＝ｆ′（ｘ０），过切点的切线方程 为：ｙ－ｙ０＝ｆ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０），又因为过点Ａ（ｘ１，ｙ１），所以ｙ１－ｙ０＝ｆ′（ｘ０）（ｘ１－ｘ０）然后解出ｘ０的值． （ｘ０有几个值，就有几条切线） 题型一：求切线方程 （２０２１·甲卷）曲线ｙ＝２ｘ－１ｘ＋２在点（－１，－３）处的切线方程为　　　　． 因为ｙ＝２ｘ－１ｘ＋２，（－１， －３）在曲线上，所以 ｙ′＝ ２（ｘ＋２）－（２ｘ－１） （ｘ＋２）２ ＝ ５ （ｘ＋２）２ ，所以 ｙ′ｘ＝－１＝５，则曲线ｙ＝ ２ｘ－１ ｘ＋２在点（－１，－３）处的切线方程为：ｙ－（－３）＝５［ｘ－（－１）］，故答案为 ５ｘ－ｙ＋２＝０ （２０２２·新高考Ⅱ）曲线ｙ＝ｌｎｘ过坐标原点的两条切线的方程为　　　　，　　　　． 当ｘ＞０时，ｙ＝ｌｎｘ，设切点坐标为（ｘ０，ｌｎｘ０），因为ｙ′＝ １ ｘ，所以切线的斜率 ｋ＝ １ ｘ０ ，所 以切线方程为ｙ－ｌｎｘ０＝ １ ｘ０ （ｘ－ｘ０），又因为切线过原点，所以０－ｌｎｘ０＝（０－ｘ０） １ ｘ０ ＝－１，所以 ｘ０＝ ｅ，切线方程为ｙ－１＝１ｅ（ｘ－ｅ），即ｘ－ｅｙ＝０；当ｘ＜０时，ｙ＝ｌｎ（－ｘ），与 ｙ＝ｌｎｘ的图象关于 ｙ轴 对称，所以切线方程也关于ｙ轴对称，所以切线方程为ｘ＋ｅｙ＝０；故答案为ｘ－ｅｙ＝０，ｘ＋ｅｙ＝０ 题型二：切线条数与拐点切线界定 １ 4_.2qr7st ： 我们可以参考圆的切线，对于圆上一点只能作一条切线，圆外一点能作两条切线，圆内一点不 能作切线，所以对于一个凹凸性不改变的函数，即二阶导没有变号零点的函数，在“圆外”一点能作 !4#$5/3 ■■ ４９　 ■ 两条切线如下图所示． （２０２２·长寿区期中）关于函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ，ｇ（ｘ）＝ｘ２，下列说法正确的是 （　　） Ａ．若过点（ａ，ｂ）可以作曲线ｆ（ｘ）的两条切线，则ｂ＜ｅａ Ｂ．若ｆ（ｘ）－ｋｘ≥０在Ｒ上恒成立，则实数ｋ的取值范围为０≤ｋ≤ｅ Ｃ．若ｇ（ｘ）≤ｍｆ（ｘ）在［１，３］上恒成立，则ｍ≥４ ｅ２ Ｄ．若函数ｈ（ｘ）＝ｇ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｔ有且只有一个零点，则实数ｔ的范围为ｔ＞ ４ ｅ２ 对于Ａ，画出曲线ｆ（ｘ）＝ｅｘ的图象，根据图可判定点（ａ，ｂ）在曲线下方才可以作出两条 切线，故ｂ＜ｅａ，故Ａ正确； 对于Ｂ，当ｋ＜０时，ｆ（ｘ）－ｋｘ≥０在Ｒ上不恒成立；当ｋ≥０时，对ｘ∈（－∞，０］，ｆ（ｘ）－ｋｘ ≥０恒成立，问题等价于ｋ≤ｅ ｘ ｘ在（０，＋∞）上恒成立，令ｈ（ｘ）＝ ｅｘ ｘ，则ｈ′（ｘ）＝ ｘｅｘ－ｅｘ ｘ２ ＝ｅ ｘ（ｘ－１） ｘ２ ， 则ｈ（ｘ）ｍｉｎ＝ｈ（１）＝ｅ，则ｋ≤ｅ，综上，实数ｋ的取值范围为０≤ｋ≤ｅ，故Ｂ正确； 对于Ｃ，若ｇ（ｘ）≤ｍｆ（ｘ）在［１，３］上恒成立，则 ｍ≥ｇ（ｘ）ｆ（ｘ）＝ ｘ２ ｅｘ 在［１，３］上恒成立，设 Ｆ（ｘ）＝ ｘ２ ｅｘ ，Ｆ′（ｘ）＝ｘ（２－ｘ） ｅｘ ，由Ｆ′（ｘ）＞０，得１＜ｘ＜２，所以 Ｆ（ｘ）在［１，２］单调递增，在［２，３］上单调 递减，则Ｆ（ｘ）ｍａｘ＝Ｆ（２）＝ ４ ｅ２ ，所以ｍ≥４ ｅ２ ，故Ｃ正确； 对于Ｄ，若函数ｈ（ｘ）＝ｇ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｔ有且只有一个零点，则函数Ｆ（ｘ）＝ ｘ２ ｅｘ 与ｙ＝ｔ的图象仅有一个交 点，画出函数Ｆ（ｘ）的图象如图：可知当 ｔ＞４ ｅ２ 或 ｔ＝０时，函数 ｈ（ｘ）＝ｇ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｔ有且只有一个零点， 故Ｄ错误．故选ＡＢＣ． ■ ５０　 ■  ２ ;u34vw+4 一般地，如图，过三次函数ｆ( )ｘ图象的拐点 －ｂ３ａ，ｆ－ ｂ ３( )( )ａ （对称中心或拐点）作切线 ｌ，则坐 标平面被切线ｌ和函数ｆ( )ｘ的图象分割为四个区域，有以下结论： （１）由于区域Ⅰ、Ⅳ属于外弧区域，故过区域Ⅰ、Ⅳ内的点作ｆ( )ｘ的切线，有３条； （２）由于区域Ⅱ、Ⅲ属于内弧区域，过区域Ⅱ、Ⅲ内的点或者对称中心作ｆ( )ｘ的切线，有且仅有 １条；