第二章 函数不等式篇-【老唐说题】高中数学新思路 多选+填空压轴专题

■ ２４　 ■  ２!　 6789:; 4+,54*<*=.,3540>0+, 一、函数定义域 （１）分式中的分母不为０； （２）偶次方根下的数（或式）大于或等于０； （３）零指数幂的底数不为０； （４）指数式的底数大于０且不等于１； （５）对数式的底数大于０且不等于１，真数大于０； （６）正切函数ｙ＝ｔａｎｘｘ∈Ｒ且ｘ≠ｋπ＋π２，ｋ∈( )Ｚ． 二、函数单调性 １． !"#$%&'()*+,-./ ： （１）若ｆ（ｘ）是增函数，则－ｆ（ｘ）为减函数；若ｆ（ｘ）是减函数，则－ｆ（ｘ）为增函数； （２）若ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）均为增（或减）函数，则在ｆ（ｘ）和 ｇ（ｘ）的公共定义域上 ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）为增（或 减）函数； （３）若ｆ（ｘ）＞０且ｆ（ｘ）为增函数，则函数 ｆ（ｘ槡 ）为增函数， １ ｆ（ｘ）为减函数；若ｆ（ｘ）＞０且ｆ（ｘ）为 减函数，则函数 ｆ（ｘ槡 ）为减函数， １ ｆ（ｘ）为增函数． ①求导判断，当ｆ′（ｘ）≥０时，此区间单调递增，当ｆ′（ｘ）≤０时，此区间单调递减． ②对称性判断，如果函数为轴对称图形，则在对称轴两边出现单调性相反情况（参考二次函数和 余弦函数），若为中心对称图形，则对称中心两边单调性相同（参考反比例函数和正弦函数）． 0 ． 123456789: 讨论复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性． 一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它 们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： （１）若ｕ＝ｇ（ｘ），ｙ＝ｆ（ｕ）在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则 ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］为增 函数； （２）若ｕ＝ｇ（ｘ），ｙ＝ｆ（ｕ）在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则 ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］为 减函数．列表如下： ｕ＝ｇ（ｘ） ｙ＝ｆ（ｕ） ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］ 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 !-#$./0123 ■■ ２５　 ■ 三、函数奇偶性 函数 ｆ（ｘ）是定义在区间 Ｄ上的奇函数，则对任意的ｘ∈Ｄ，都有ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ）＝０． 特别地，若奇函数 ｆ（ｘ）在 Ｄ上有最值，则ｆ（ｘ）ｍｉｎ＋ｆ（ｘ）ｍａｘ＝０． ①若函数ｆ（ｘ）是奇函数，且ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｃ，则必有 ｇ（ｘ）＋ｇ（－ｘ）＝２ｃ ②若函数ｆ（ｘ）是奇函数，且ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｃ，则必ｇ（ｘ）ｍａｘ＋ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝２ｃ 特殊函数奇偶性 奇函数：① 函数ｆ（ｘ）＝ｍ ａｘ＋１ ａｘ( )－１（ｘ≠０）或函数ｆ（ｘ）＝ｍ ａ ｘ－１ ａｘ( )＋１． ② 函数ｆ（ｘ）＝±（ａｘ－ａ－ｘ）． ③ 函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａ ｘ＋ｍ ｘ－ｍ＝ｌｏｇａ １＋ ２ｍ ｘ－( )ｍ或函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａｘ－ｍｘ＋ｍ＝ｌｏｇａ １－２ｍｘ＋( )ｍ． ④ 函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａ（ ｘ ２ 槡 ＋１＋ｘ）或函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａ（ ｘ ２ 槡 ＋１－ｘ）． 注意：关于①式，可以写成函数ｆ（ｘ）＝ｍ＋ ２ｍ ａｘ－１ （ｘ≠０）或函数ｆ（ｘ）＝ｍ－ ２ｍ ａｘ＋１ （ｍ∈Ｒ）． 偶函数：①函数ｆ（ｘ）＝±（ａｘ＋ａ－ｘ）． ②函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａ（ａ ｍｘ＋１）－ｍｘ２． ③ｆ（ｘ）类型的一切函数． 四、函数的对称性 （１）若函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ａ）为偶函数，则函数ｙ＝ｆ（ｘ）关于ｘ＝ａ对称． （２）若函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ａ）为奇函数，则函数ｙ＝ｆ（ｘ）关于点（ａ，０）对称． （３）若ｆ（ｘ）＝ｆ（２ａ－ｘ），则函数ｆ（ｘ）关于ｘ＝ａ对称． （４）若ｆ（ｘ）＋ｆ（２ａ－ｘ）＝２ｂ，则函数ｆ（ｘ）关于点（ａ，ｂ）对称． （５）若函数ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝ａ对称，则ｆ（ａ＋ｘ）＝ｆ（ａ－ｘ）． 推论１：关系式ｆ（ａ＋ｘ）＝ｆ（ａ－ｘ）也可以写成ｆ（ｘ）＝ｆ（２ａ－ｘ）或ｆ（－ｘ）＝ｆ（２ａ＋ｘ）． 若写成ｆ（ａ＋ｘ）＝ｆ（ｂ－ｘ），则函数ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝（ａ＋ｘ）＋（ｂ－ｘ）２ ＝ ａ＋ｂ ２ 对称． （６）若函数ｙ＝ｆ（ｘ）关于点（ａ，ｂ）对称，则ｆ（ａ＋ｘ）＋ｆ（ａ－ｘ）＝２ｂ． 推论２：关系式ｆ（ａ＋ｘ）＋ｆ（ａ－ｘ）＝２ｂ也可以写成 ｆ（２ａ＋ｘ）＋ｆ（－ｘ）＝２ｂ或 ｆ（２ａ－ｘ）＋ｆ（ｘ） ＝２ｂ． （７）函数ｙ＝ｆ（ａ＋ｘ）与 ｙ＝ｆ（ａ－ｘ）关于 ｙ轴对称，函数 ｙ＝ｆ（ａ＋ｘ）与 ｙ＝－ｆ（ａ－ｘ）关于原点 对称． （８）若ｆ（ｍ＋ｘ）＝ｆ（ｍ－ｘ）恒成立，则ｙ＝ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝ｍ对称． （９）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）定义在实数集上，则函数ｙ＝ｆ（ｘ－ｍ）与ｙ＝ｆ（ｍ－ｘ）（ｍ＞０）的图象关于直线 ｘ＝ｍ对称． （１０）函数ｙ＝ｆ（ａ＋ｘ）与函数ｙ＝ｆ（ｂ－ｘ）的图象关于直线ｘ＝ｂ－ａ２ 对称． （１１）