专题6 导数结论篇-【老唐说题】高中数学常用二级结论&23高考精选

!"#$%&'() ■■ ８７　 ■ ! ６ 6$()* 　　　　　 　　　　 　　　　　　 　　 !"‚ÏЎ １． ‹P （１）八大函数 　　　 　　　 　　　 　　　　①　　　　　　　　　②　　　　　　　　　③　　　　　　　　　④ 　　　 　　　 　　　 　 　　⑤　　　　　　　　　⑥　　　 　　　　　　　⑦　　　　　　　　　⑧ （２）常见变形　模型总结（ａ＞０，ｘ＞０） １＝ｌｎｅ，２＝ｌｎｅ２，１＋ｌｎｘ＝ｌｎ（ｅｘ），ｌｎｘ－１＝ｌｎｘｅ； ｘｅｘ＝ｅｘ＋ｌｎｘ，ａｅｘ＝ｅｘ＋ｌｎａ，ｘ＋ｌｎｘ＝ｌｎ（ｘｅｘ）； ｅｘ ｘ＝ｅ ｘ－ｌｎｘ， ｅｘ ａ＝ｅ ｘ－ｌｎａ，ｘ－ｌｎｘ＝ｌｎｅ ｘ ｘ； ｘ２ｅｘ＝ｅｘ＋２ｌｎｘ，ａ２ｅｘ＝ｅｘ＋２ｌｎａ，ｘ＋２ｌｎｘ＝ｌｎ（ｘ２ｅｘ）； ｅｘ ｘ２ ＝ｅｘ－２ｌｎｘ，ｅ ｘ ａ２ ＝ｅｘ－２ｌｎａ，ｘ－２ｌｎｘ＝ｌｎｅ ｘ ｘ( )２ ； （３）基本模型 ①积型：ａｅａ≤ｂｌｎｂ → 三种同构方式 同右：ｅ ａｌｎａ≤ｂｌｎｂ　ｆ（ｘ）＝ｘｌｎｘ 同左：ａｅａ≤（ｌｎｂ）ｅｌｎｂ　ｆ（ｘ）＝ｘｅ{ ｘ ②商型：ｅ ａ ａ＜ ｂ ｌｎｂ → 三种同构方式 同左： ｅａ ａ＜ ｅｌｎｂ ｌｎｂ　　ｆ（ｘ）＝ ｅｘ ｘ 同右： ｅａ ｌｎｅａ ＜ｂｌｎｂ　　ｆ（ｘ）＝ ｘ ｌｎｘ 取对：ａ－ｌｎａ＜ｌｎｂ－ｌｎ（ｌｎｂ）　 ｆ（ｘ）＝ｘ－ｌｎ        ｘ ■ ８８　 ■  ③和差型：ｅａ±ａ＞ｂ±ｌｎｂ → 两种同构方式 同左：ｅａ±ａ＞ｅｌｎｂ±ｌｎｂ　　ｆ（ｘ）＝ｅｘ±ｘ 同右：ｅａ±ｌｎｅａ＞ｂ±ｌｎｂ　　ｆ（ｘ）＝ｘ±ｌｎ{ ｘ 如：ｅａｘ＋ａｘ＞ｌｎ（ｘ＋１）＋ｘ＋１ｅａｘ＋ａｘ＞ｅｌｎ（ｘ＋１）ａｘ＞ｌｎ（ｘ＋１）． ２． Ï?@:;†‡ ①乘除型：ｅａｘ与ｌｎｘａ，或 ｅｘ ａ与ｌｎ（ａｘ）（ａ＞０）； ②加减型：ｅｘ＋ａ与ｌｎｘ－ａ，或ｅｘ＋ａ与ｌｎ（ｘ－ａ）； ③混合型：ｅａｘ＋ｂ与ｌｎ（ｘ－ｂ）ａ ，或 ｅｘ ａ＋ｂ与ｌｎ（ａ（ｘ－ｂ））． ３． ’ÐÑÍ:;†‡ （１）高人一等型 若Ｆ（ｘ）＞０对ｘ∈Ｄ恒成立，且Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ），我们可以转化为 ｆ（ｘ）＞ｇ（ｘ），通过分别 求出两个函数的最值，当ｆ（ｘ）ｍｉｎ＞ｇ（ｘ）ｍａｘ时一定成立，我们称之为高人一等，如图所示； （２）错位ＰＳ型 若Ｆ（ｘ）＞０对ｘ∈Ｄ恒成立，且Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ），我们可以转化为 ｆ（ｘ）＞ｇ（ｘ），通过分别 求出两个函数的最值，当ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｆ（ｘ１）≥ｇ（ｘ）ｍａｘ＝ｇ（ｘ２），ｘ１≠ｘ２时不等式一定成立，我们称之 为错位ＰＳ，如图所示．通常我们将 ｆ（ｘ）叫做上函数，ｇ（ｘ）叫做下函数． （３）亲密接触型 若Ｆ（ｘ）≥０对ｘ∈Ｄ恒成立，且Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ），我们可以转化为 ｆ（ｘ）≥ ｇ（ｘ），通过分别 求出两个函数的最值，当ｆ（ｘ）ｍｉｎ≥ｇ（ｘ）ｍａｘ，且ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｆ（ｘ０）＝ｇ（ｘ）ｍａｘ＝ｇ（ｘ０）时一定成立，我们 称之为亲密接触，如图所示． （４）天各一方 !"#$%&'() ■■ ８９　 ■ 若含参数ａ的函数Ｆ（ｘ）≥０对ｘ∈［ｘ０，＋∞）恒成立，且 Ｆ（０）＝０，构造 Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｈ（ａ） ｇ（ｘ），在这种情况下 ｆ（ｘ）≥ｈ（ａ）ｇ（ｘ）恒成立，且ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｆｘ( )０ ＝ｍ，只需ｈ（ａ）ｇ（ｘ）单调递减；或 者ｙ＝ｆ（ｘ）单调递增，且 ｆ′（ｘ０）＝０，只需ｈ（ａ）ｇ（ｘ）单调递减，这也是我们通常讲到的端点效应（洛 必达法则）；此法叫做天各一方，如图所示，在端点效应中推导矛盾区间时往往需要切线放缩． ４． ÒvÓdAÔÕ （１）对数的处理 设 ｆ（ｘ）为可导函数，则有（ｆ（ｘ）·ｌｎｘ）′＝ｆ′（ｘ）ｌｎｘ＋ｆ（ｘ）·１ｘ，若 ｆ（ｘ）为非常数函数，求导式 子中含有ｌｎｘ，这类问题需要多次求导．处理这类函数的秒杀技巧是将ｌｎｘ前面部分提出，就留下ｌｎｘ 这个单身狗，然后研究剩余部分，这类方法技巧叫对数单身狗． （２）指数的处理 设 ｆ（ｘ）为可导函数，则有（ｅｘ－ｆ（ｘ））′＝ｅｘ－ｆ′（ｘ），若 ｆ（ｘ）为非常数函数，求导式子中还是含 有ｅｘ，针对此类型，可以采用做商的方法，构造 ｆ（ｘ）ｅ[ ]ｘ ′ ＝ｆ′（ｘ）－ｆ（ｘ） ｅｘ ，从而达到简化证明和求最 值的目的，ｅｘ总在找属于它的基友，此类方法技巧俗称指数找基友． ５． :yklQ （１）指数切线放缩 Ö× １：０线放缩 ①ｅｘ≥ｘ＋１（切点横坐标是ｘ＝０，ｘ∈Ｒ）； ②ｅｘ≥ｘ２＋１（切点横坐标是ｘ＝０，ｘ≥０）； ③ｅｘ≥１２ｘ ２＋ｘ＋１（切点横坐标是ｘ＝０，ｘ≥０）． Ö×