专题5 解析几何结论篇-【老唐说题】高中数学常用二级结论&23高考精选

!"#$%&'() ■■ ５３　 ■ ! ５ 4512()* 　　　　　 　　　　 　　　　　　 　　 !"‘„0Sµ 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 ｙ－ｙ０＝ｋ（ｘ－ｘ０） ｋ为斜率，（ｘ０，ｙ０）是直线上一 定点 不垂直于ｘ轴 斜截式 ｙ＝ｋｘ＋ｂ ｋ为斜率，ｂ是直线在 ｙ轴上的 截距 不垂直于ｘ轴 两点式 ｙ－ｙ１ ｙ２－ｙ１ ＝ ｘ－ｘ１ ｘ２－ｘ１ （ｘ１，ｙ１）和（ｘ２，ｙ２）是直线上的两 个定点 不垂直于ｘ轴和ｙ轴 截距式 ｘ ａ＋ ｙ ｂ＝１ ａ为直线在 ｘ轴上的非零截距，ｂ 为直线在ｙ轴上的非零截距 不垂直于 ｘ轴和 ｙ轴，且 不过原点 一般式 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（Ａ２＋Ｂ２≠０） Ａ、Ｂ、Ｃ为系数 任何位置的直线 　　１． :yD/·œVDþ’€ （１）点斜式：过已知点（ｘ０，ｙ０），且斜率为ｋ的直线方程：ｙ－ｙ０＝ｋ（ｘ－ｘ０）． GH< ①当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为ｘ＝ｘ０； ② ｙ－ｙ０ ｘ－ｘ０ ＝ｋ表示：ｙ－ｙ０＝ｋ（ｘ－ｘ０）直线上除去点（ｘ０，ｙ０）的图形． （２）斜截式：若已知直线在 ｙ轴上的截距为 ｂ，斜率为 ｋ，则直线方程：ｙ＝ｋｘ＋ｂ．【ｂ是纵 截距！】 ①截距的概念：直线在ｙ轴、ｘ轴上的截距指的是直线与 ｙ轴、ｘ轴交点的纵坐标、横坐标，也 分别叫做纵截距和横截距；截距可以大于０，可以小于０，可以等于０，截距与距离是完全不同的两 个概念． ②求直线截距的方法：在直线方程中令ｘ＝０，解出 ｙ的值即为直线在 ｙ轴上的截距；在直线方 程中令ｙ＝０，求得ｘ的值，即为直线在ｘ轴上的截距． （３）两点式：若已知直线经过（ｘ１，ｙ１）和（ｘ２，ｙ２）两点，且ｘ１≠ｘ２，ｙ１≠ｙ２，则直线方程： ｙ－ｙ１ ｙ２－ｙ１ ＝ ｘ－ｘ１ ｘ２－ｘ１ ． GH< ①不能表示与ｘ轴和ｙ轴垂直的直线； ②当两点式方程写成如下形式（ｘ２－ｘ１）（ｙ－ｙ１）－（ｙ２－ｙ１）（ｘ－ｘ１）＝０时， 或者ｘ（ｙ２－ｙ１）－ｙ（ｘ２－ｘ１）＝ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１（为后面不联立体系找定点定值做准备），此时，直线方 程可以适应于任何一条直线． ■ ５４　 ■  （４）截距式：若已知直线在 ｘ轴、ｙ轴上的截距分别是 ａ、ｂ且 ａ≠０，ｂ≠０，则直线方程： ｘａ＋ ｙ ｂ＝１． GH< ①不能表示与 ｘ轴垂直的直线，也不能表示与 ｙ轴垂直的直线，也不能表示过原点的 直线； ②用截距式解题要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况，当出现“截距相等”“截距的绝对值 相等”“截距互为相反数”时容易丢解． ③截距式也可以表示为ｍｘ＋ｎｙ＝１，这样就可以表示任意的不过零点的直线，这也是齐次化解决 斜率和积常见的方法，其中ｍ表示ｘ轴截距的倒数，ｎ表示ｙ轴截距的倒数． （５）一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（Ａ、Ｂ不同时为０或 Ａ２＋Ｂ２≠ ０）；反之，任何一个有解的二元一次方程都表示一条直线． GH ：①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊 形式，这要看系数Ａ、Ｂ、Ｃ是否为０才能确定． ②熟 练 地 指 出 此 时 直 线 的 方 向 向 量：（Ｂ， －Ａ），（－Ｂ，Ａ），或 单 位 向 量 Ｂ Ａ２＋Ｂ槡 ２ ， －Ａ Ａ２＋Ｂ槡( )２ ；直线的法向量：（Ａ，Ｂ）（与直线垂直的向量）． （６）参数式①之标准式： ｘ＝ｘ０＋ｔｃｏｓα ｙ＝ｙ０＋ｔｓｉｎ{ α（ｔ为参数）；其中直线的方向向量为（ｃｏｓα，ｓｉｎα），ｔ的几 何意义为 ＰＰ０ ，斜率为ｔａｎα，α为倾斜角，且０≤α＜π． （７）其他直线方程：要会根据条件灵活设直线方程，尤其在直线和圆锥曲线相交的题型中，常用 到（１）点斜式和（２）斜截式的变形设法，直线方程分别为：ｔ（ｙ－ｙ０）＝ｘ－ｘ０，ｘ＝ｔｙ＋ｍ． ２． /·£ÃmÎbc （１）平行直线系：与直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０平行的直线系方程为Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ１＝０Ｃ１≠( )Ｃ． （２）垂直直线系：与直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０垂直的直线系方程为Ｂｘ－Ａｙ＋Ｃ１＝０． （３）过两交点的直线系：过两相交直线ｌ１：Ａ１ｘ＋Ｂ１ｙ＋Ｃ１＝０和ｌ２：Ａ２ｘ＋Ｂ２ｙ＋Ｃ２＝０交点的直线 系方程为Ａ１ｘ＋Ｂ１ｙ＋Ｃ１＋λ（Ａ２ｘ＋Ｂ２ｙ＋Ｃ２）＝０，此直线系不包括ｌ２． GH ：推广到过曲线ｆ１（ｘ，ｙ）＝０与ｆ２（ｘ，ｙ）＝０的交点的方程为：ｆ１（ｘ）＋λｆ２（ｘ）＝０． ３． NObc （１）点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式．点Ｐ（ｘ，ｙ）关于Ｑ（ａ，ｂ）的对称点为Ｐ′（２ａ－ ｘ，２ｂ－ｙ）． （２）直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求．设ｌ的方程为 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（Ａ２＋Ｂ２ ≠０）和点Ｐ（ｘ０，ｙ０），则ｌ关于