专题4 数列结论篇-【老唐说题】高中数学常用二级结论&23高考精选

■ ３８　 ■  ! ４ "$3()* 　　　　　 　　　　 　　　　　　 　　 !"Ll$© １． :y#$ （１）通项公式的推广：ａｎ＝ａｍ＋（ｎ－ｍ）ｄ（ｎ，ｍ∈Ｎ）． （２）在等差数列 ａ{ }ｎ 中，当ｍ＋ｎ＝ｐ＋ｑ时，ａｍ＋ａｎ＝ａｐ＋ａｑ（ｍ，ｎ，ｐ，ｑ∈Ｎ）． 特别地，若ｍ＋ｎ＝２ｔ，则ａｍ＋ａｎ＝２ａｔ（ｍ，ｎ，ｔ∈Ｎ）． （３）ａｋ，ａｋ ＋ｍ，ａｋ ＋２ｍ，…仍是等差数列，公差为ｍｄ（ｋ，ｍ∈Ｎ）． （４）Ｓｎ，Ｓ２ｎ－Ｓｎ，Ｓ３ｎ－Ｓ２ｎ，…也成等差数列，公差为ｎ ２ｄ． （５）若 ａ{ }ｎ ， ｂ{ }ｎ 是等差数列，则｛ｐａｎ＋ｑｂｎ｝也是等差数列． （６）若 ａ{ }ｎ 是等差数列，则 Ｓｎ{ }ｎ也成等差数列，其首项与 ａ{ }ｎ 首项相同，公差是 ａ{ }ｎ 公差的１２． （７）若项数为偶数２ｎ，则Ｓ２ｎ＝ｎ（ａ１＋ａ２ｎ）＝ｎ（ａｎ＋ａｎ＋１），Ｓ偶 －Ｓ奇 ＝ｎｄ； Ｓ奇 Ｓ偶 ＝ ａｎ ａｎ＋１ ． （８）若项数为奇数２ｎ－１，则Ｓ２ｎ－１＝（２ｎ－１）ａｎ；Ｓ奇 －Ｓ偶 ＝ａｎ； Ｓ奇 Ｓ偶 ＝ ｎｎ－１． （９）等差数列的前ｎ项和的最值：在等差数列 ａ{ }ｎ 中，若 ａ１＞０，ｄ＜０，则满足 ａｍ≥０ ａｍ＋１{ ＜０的项数 ｍ使得Ｓｎ取得最大值Ｓｍ（若ａｍ＝０，则Ｓｍ＝Ｓｍ－１）； 若ａ１＜０，ｄ＞０，则满足 ａｍ≤０ ａｍ＋１{ ＞０的项数ｍ使得Ｓｎ取得最小值Ｓｍ（若ａｍ＝０，则Ｓｍ＝Ｓｍ－１）． （１０）等差数列的前ｎ项和公式与函数的关系 Ｓｎ＝ ｄ ２ｎ ２＋ ａ１－ ｄ( )２ ｎ．数列 ａ{ }ｎ 是等差数列Ｓｎ＝Ａｎ２＋Ｂｎ（Ａ、Ｂ为常数）． ２．ａｎdＳｎÍ*pCV ａｍ１＋ａｍ２＋ａｍ３＋…＋ａｍｎ＝ｎａｍ１＋ｍ２＋ｍ３＋…＋ｍｎｎ 例：ａ２＋ａ６＋ａ７＝３ａ５；３ａ８－ａ１２＝２ａ６． PQp< Ｓｎ＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋…＋ａｎＳｎ＝ｎ·ａｎ＋１２（其中ｎ为奇数）　 例：Ｓ５＝５ａ３． PQ!< ａｎ＝ Ｓ２ｎ－１ ２ｎ－１　 例：ａ５＝ Ｓ９ ９；ａ８＝ Ｓ１５ １５． 当ｍ１、ｍ２、ｍ３、…、ｍｎ也成等差数列时，均有ａｍ１＋ａｍ２＋ａｍ３＋…＋ａｍｎ＝ｎａｍ１＋ｍｎ２ ． ３． DE Ｓ D†‡d`abc Cs １ < 等差数列中： Ｓｍ＋ｎ ｍ＋ｎ＝ Ｓｍ－Ｓｎ ｍ－ｎ，则有 Ｓ２ｍ＋ｍ ２ｍ＋ｍ＝ Ｓ２ｍ－Ｓｍ ２ｍ－ｍ可以求出Ｓ３ｍ，甚至Ｓ４ｍ． !"#$%&'() ■■ ３９　 ■ GH< ①若Ｓｍ＝Ｓｎ，则一定有：Ｓｍ＋ｎ＝０；ａｍ＋ｎ＋１２ ＝０． ②Ｓｎ，Ｓ２ｎ－Ｓｎ，Ｓ３ｎ－Ｓ２ｎ成等差数列，公差为ｎ ２ｄ Cs ２：等差数列｛ａｎ｝中： Ｓｎ{ }ｎ为首项是ａ１，公差是ｄ２的等差数列，若ｍ＋ｎ＝ｐ＋ｑ，则Ｓｍｍ＋Ｓｎｎ ＝ Ｓｐ ｐ＋ Ｓｑ ｑ；特别的，若ｍ＋ｎ＝２ｐ，则有 Ｓｍ ｍ＋ Ｓｎ ｎ＝ ２Ｓｐ ｐ． Cs ３：Ｓｎ有最大值 ａｎ＞０ ａｎ＋１{ ＜０；Ｓｎ有最小值 ａｎ＜０ ａｎ＋１{ ＞０，若 ａｎ＝０，则有 Ｓｎ＝Ｓｎ－１同时取得 最值． Ｓｎ＞０，ｎ的最大值 Ｓｎ＞０ Ｓｎ＋１{ ＜０；Ｓｎ＜０，ｎ的最大值 Ｓｎ＜０ Ｓｎ＋１{ ＞０． ("Lª$© １． :yiô@Å#$ （１）若ｍ＋ｎ＝ｐ＋ｑ＝２ｋ（ｍ，ｎ，ｐ，ｑ，ｋ∈Ｎ），则ａｍ·ａｎ＝ａｐ·ａｑ＝ａｋ ２． （２）若 ａ{ }ｎ ， ｂ{ }ｎ （项数相同）是等比数列，则｛λａｎ｝（λ≠０）， １ ａ{ }ｎ ，｛ａｎ２｝，｛ａｎ·ｂｎ｝， ａｎ ｂ{ }ｎ 仍 是等比数列． （３）在等比数列 ａ{ }ｎ 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ａｎ，ａｎ ＋ｋ，ａｎ ＋２ｋ，ａｎ ＋３ｋ …为等比数列，公比为ｑｋ． （４）公比不为－１的等比数列 ａ{ }ｎ 的前ｎ项和为 Ｓｎ，则 Ｓｎ，Ｓ２ｎ－Ｓｎ，Ｓ３ｎ－Ｓ２ｎ仍成等比数列，其 公比为ｑｎ． （５）ａ{ }ｎ 为等比数列，若ａ１·ａ２…ａｎ＝Ｔｎ，则Ｔｎ， Ｔ２ｎ Ｔｎ ， Ｔ３ｎ Ｔ２ｎ ，…成等比数列． （６）当ｑ≠０，ｑ≠１时，Ｓｎ＝ｋ－ｋ·ｑ ｎ（ｋ≠０）是 ａ{ }ｎ 成等比数列的充要条件，此时ｋ＝ ａ１ １－ｑ． （７）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中 间项的平方． ２． iôšFGPQ< ａｍ１Hａｍ２Hａｍ３HIHａｍｎ＝（ａｍ１＋ｍ２＋ｍ３＋I＋ｍｎｎ ） ｎ G< 角标为分数时，小题依然适用． ˜< ａ２ａ６ａ７＝（ａ５） ３；ａ１ａ２ａ３…ａｎ＝（ａ１＋ｎ２） ｎ；ａ１ａ２ａ３…ａ９＝（ａ５） ９ J'< 若ｍ１、ｍ２、ｍ３…ｍｎ成等差数列时，有ａｍ１ａｍ２ａｍ３…ａｍｎ＝（ａｍ１＋ｍｎ２ ） ｎ ３．