专题3 立体几何结论篇-【老唐说题】高中数学常用二级结论&23高考精选

■ ３０　 ■  ! ３ "/012()* 　　　　　 　　　　 　　　　　　 　　 !"N}EFŽ １ r "#º "$º "%D&Û'(»Ð&ۚPQ 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 Ｓ圆柱侧 ＝２πｒｌ Ｓ圆锥侧 ＝πｒｌ Ｓ圆台侧 ＝π（ｒ＋ｒ′）ｌ ２． )*8ûþDÙۚdþšPQ 　　　　　名称 几何体　　　　　 表面积 体积 柱体（棱柱和圆柱） Ｓ表面积 ＝Ｓ侧 ＋２Ｓ底 Ｖ＝Ｓｈ 锥体（棱锥和圆锥） Ｓ表面积 ＝Ｓ侧 ＋Ｓ底 Ｖ＝ １ ３Ｓｈ 台体（棱台和圆台） Ｓ表面积 ＝Ｓ侧 ＋Ｓ上 ＋Ｓ下 Ｖ＝ １ ３（Ｓ上 ＋Ｓ下 ＋ Ｓ上 Ｓ槡 下）·ｈ 球 Ｓ＝４πＲ２ Ｖ＝ ４ ３πＲ ３ ３． )*8ûþD/+»:y,!-.Ìۚ< Ｓ / ＝槡２４Ｓ/ ("r7‘ １． Z0DEmdCs （一）直线与平面平行 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一 条直线平行，则直线与此平面 平行． ａα ｂα ｂ∥ } ａ ａ∥α 性质定理 如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面 相交，那么这条直线就和交线 平行． ａ∥α ａβ ａ∩β＝ } ｂ ａ∥ｂ !"#$%&'() ■■ ３１　 ■ 　　（二）平面与平面平行 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内有两条相交直线与另 一个平面平行，则这两个平面 平行 ａα ｂα ａ∩ｂ＝Ｐ ａ∥β ｂ∥        β α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时与第三个 平面相交，那么它们的交线平行 α∥β ａ∩γ＝ａ β∩γ＝ } ｂ ａ∥ｂ 　　２． ë/DEmdCs （一）直线和平面垂直的定义 直线ｌ与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线ｌ与平面α互相垂直 （二）直线与平面垂直 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与平面内的两条相交直 线都垂直，则该直线与此平面 垂直 ａ、ｂα ａ∩ｂ＝Ｏ ｌ⊥ａ ｌ⊥      ｂ ｌ⊥α 推论 如果在两条平行直线中，有一条 垂直于平面，那么另一条直线也 垂直这个平面 ａ∥ｂ ａ⊥ }αｂ⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 平行 ａ⊥α ｂ⊥ }αａ∥ｂ 　　（三）平面与平面垂直 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的一条垂 线，则这两个平面互相垂直 ｌβ ｌ⊥ }αα⊥β 性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面 内垂直于交线的直线垂直于另一 个平面 α⊥β ｌβ α∩β＝ａ ｌ⊥      ａ ｌ⊥α ■ ３２　 ■  ,"’“”•–—˜™z 模型 模型图 适用几何体 解题流程 公式 长方体模型 长方体的顶点 构成的几何体 模型 先补成长方体，再找长 方体的长宽高 （２Ｒ）２＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２ 对棱相等模型 对棱相等的三 棱锥（也是特 殊的长方体模 型） 先补成长方体，再找长 方体的三对面对角线 ｘ， ｙ，ｚ Ｒ２＝ｘ ２＋ｙ２＋ｚ２ ８ 斗笠模型 圆锥、顶点在 底面的射影是 底面外心的正 棱锥 找底面外接圆半径 ｒ，找 高ｈ Ｒ＝ｒ ２＋ｈ２ ２ｈ 汉堡模型 圆 柱， 直 棱 柱，一条侧棱 垂直 底 面 的 棱锥 找底面外接圆半径 ｒ，找 高ｈ Ｒ２＝ｒ２＋ｈ ２ ４ 切瓜模型 存在一组邻面 垂直的几何体 找两个垂面的外接圆半 径 ｒ１，ｒ２，两个面的交 线ｌ Ｒ２＝ｒ２１＋ｒ ２ ２－ ｌ２ ４ 怀表模型 两个全等等腰 三角形折叠式 棱锥 找等腰三角形的高 ｈ，找 外接圆半径 ｒ，找二面 角θ Ｒ２＝ｒ２＋（ｈ－ｒ）２ｔａｎ２ θ２ 夹角问题 终极公式 任意普通情况 找两相邻面的截面，外 接圆圆心到交线的距离 ｍ，ｎ，找二面角θ，找两 个面的交线ｌ Ｒ２＝ｍ ２＋ｎ２－２ｍｎｃｏｓα ｓｉｎ２α ＋ｌ ２ ４ !"#$%&'() ■■ ３３　 ■ /"šp”›œ™z １． 1$í«2¬3 （１）等体积法：由球心到各面距离相等，多面体体积可表示为 Ｖ＝１３ｒＳ１＋ １ ３ｒＳ２＋ １ ３ｒＳ３＋… ＋ １ ３ｒＳｎ＝ １ ３ｒＳ１＋Ｓ２＋…＋Ｓ( )ｎ ＝ １ ３ｒＳ表，所以ｒ＝ ３Ｖ Ｓ表 ． （２）相似法求解正棱锥内切球半径：（以下以正三棱锥为例） 如图，由正三棱锥内切球球心Ｏ在高线上，则球与侧面的切点 Ｅ在侧面的高线 ＰＤ上，与底面 的切点Ｈ为高线垂足，易知△ＰＯＥ∽△ＰＤＨ，故利用ＯＥＤＨ＝ ＰＯ ＰＤ，可解出内切球半径Ｒ． ２． 4þí«2¬3<jÀ56]7ÛDí«"¬38Ó3ì02‹no 如图，已知圆锥高为ｈ，底面半径为ｒ，利用两个直角三角形△ＡＢＤ和△ＡＯＥ相似可得ＯＥＡＥ＝ ＢＤ ＡＤ， 故 Ｒ ｈ２＋ｒ