10.3 第2课时 旋转的特征-【拔尖特训】2023-2024学年七年级下册数学（华东师大版）

第2课时 旋转的特征 ▶ “答案与解析”见P45 1. 如图,将△ABC 绕点A 旋转得到△ADE,则 下列结论不一定正确的是 ( ) (第1题) A. BC=DE B. ∠E=∠C C. ∠B=∠E D. ∠EAC=∠BAD 2. 如图,将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转 60°后得到△DOE.若∠A=110°,∠E=45°, 则∠AOE 的度数为 ( ) A. 25° B. 35° C. 45° D. 55° (第2题) (第3题) 3. 如图,将直角三角形ABC 绕直角顶点C 按逆 时针方向旋转90°得到直角三角形EFC.若 AC=2,BC=1,则AF= . 4. (2022·张家界改编)在如图所示的方格纸 (小正方形的边长为1个单位)中有一个 △AOB. (1) 将△AOB向左平移5个单位,作出平移后 的△A1O1B1(不写作法,但要标出顶点字母). (2) 将△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转 90°,作出旋转后的△A2O2B2(不写作法,但 要标出顶点字母). (第4题) 5. 如图,将△ABC 绕点B 按顺时针方向旋转, 旋转角是∠ABC,则下列说法不一定正确 的是 ( ) A. AB=BD B. BC 平分∠ABE C. AC∥BE D. AC=DE (第5题) (第6题) 6. (2022·南充)如图,将△ABC 绕顶点A 按顺 时针方向旋转得到△AB'C',点B'恰好落在 CA 的延长线上.已知∠B=30°,∠C=90°, 则∠BAC'的度数为 ( ) A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 7. 如图,△ABC 绕点O 按顺时针方向旋转后, 顶点A 旋转到了点A'的位置,则下列说法 中,错误的是 ( ) (第7题) A. OA=OA' B. ∠AOA'是旋转角 C. 作∠BOB'=∠AOA',且OB'=OB,即可 确定点B 的对应点B'的位置 D. 若点C的对应点为C',则∠COC'=∠AOA' 8. 如图,在4×4的正方形网格中,△MNP 绕 某点旋转一定的角度,得到△M1N1P1,则其 旋转中心一定是点 . (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 79 第10章　轴对称、平移与旋转 9. (2022·宁夏)如图,直线a∥b,△AOB 的 边OB 在直线b上,∠AOB=55°.将△AOB 绕点O按顺时针方向旋转75°得到△A1OB1, 边 A1O 交直线a 于点C,则∠1的度数 为 . (第9题) 10. 如图,线段AB 的长度为4cm,且CD⊥AB 于点O.请借助旋转的方法求出图中涂色部 分的面积. (第10题) 答案讲解 11. 如图,将△ABC 绕点B 按顺时针 方向旋转得到△EBD,点D 落在 AB 的延长线上,△ABC 的边BC 恰好平分∠EBD,BE 与AC 的交点为P. (1) 求旋转角∠CBD 的度数. (2) 试说明:∠APB>∠A. (第11题) 12. 如图,网格中有一个四边形ABCD,其中 ∠BCD=90°,CD=CB. (1) 画出四边形ABCD 绕点A 按顺时针方 向旋转90°后得到的图形. (2) 求出旋转后得到的图形的面积. (第12题) 13. 如图,小明在钝角三角形ABC 的外侧画了 两个等腰直角三角形,其中∠ACB 是钝角, ∠ACD=∠BCE=90°,AC=CD,EC= BC,连结AE,BD.试猜想线段AE 和BD 之间的关系,并说明理由. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 89 数学(华师版)七年级下 12. (1) 答案不唯一,如图所示. (2) 设三个题图中除去涂色部分后剩 下部分的面积分别为S1,S2,S3,则 S1=ab-b,S2=ab-b,S3=ab-b. (3) 由(2)可知,这块菜地的面积为 40×10-10×1=390(m2). (第12题) 10.3　旋　转 第1课时 图形的旋转 1. C 2. D 3. 逆 90° 4. (1) 旋转中心为点A,旋转方向为 顺时针,旋转角度为90°. (2) 点A,B,C,D 的对应点分别是 A,B',C',D',线段AB,BC,CD,DA 的对应线段分别是线段AB',B'C', C'D',D'A. 5. D [解析]根据题意,得∠ACD= 180°-∠ACB=180°-75°=105°. ∴ 旋转方向和旋转角可能为顺时 针,105°. 6. D [解析]∵ △ABC和△DEC有 公共的顶点C,且其中一个三角形是 由另一个三角形旋转得到的,∴ 点C 是旋转中心,点A,B 的对应点分别是 D,E.当顺时针旋转时,旋转角是 ∠ACD 或∠BCE,为90°;同理,可知 当逆时针旋转时,旋转角度是360°- 90°=270°.故选项A,B,C正确,选项 D错误. 7. 150° [解析]由题意知,∠AOA'= 150°,△OA'B' 是 等 边 三 角 形, ∴ ∠A'OB'=60°.∴ ∠1=360°- 150°-60°=150°. 8. 20° [解析]如图.由题意可知, ∠BAD=∠B=∠D'=90°.∵ 对顶 角 相 等,∴ ∠2= ∠1= 110°. ∴ ∠BAD'=360°-90°×2-110°= 70°.∴ ∠DAD'=90°-70°=20°. (第8题) 求旋转角的度数的方法 求旋转角的度数,就是要求出 对应点分别与旋转中心所连线段的 夹角的度数,常需要利用角的和差 关系,将其转化为两个角的和或差 来进行求解.本题要注意四边形的 内角和为360°这一特征的应用. 9. (1) 由△ACD 旋转后与△EBD 重 合,结合题图知,旋转中心是点D. (2) ∵ 线段CD 的对应线段是线段 BD,即CD 旋转到BD 的位置, ∴ 旋转角的度数是180°. (3) 由题图知,线段AC 的对应线段 是线段EB. ∵ M 是AC的中点, ∴ 点M 的对应点为EB 的中点,即 点M 旋转到了EB 的中点位置上. 10. 可作为旋转中心的点共有三个, 分别是点D,M,C,旋转角度分别为 90°,180°,270°. 忽视旋转中心的多种可能性 本题容易出现的错误是因考虑 不全面而造成漏解,易误认为旋转 中心只能为点 M.实际上,将正方 形CDEF 绕点D 按顺时针方向旋 转90°或按逆时针方向旋转270°都 可以与正方形ABCD 重合;将正方 形CDEF 绕点C 按逆时针方向旋 转90°或按顺时针方向旋转270°也 都可以与正方形ABCD 重合. 11. (1) ∵ DE∥AC, ∴ ∠ACD=∠D=30°. 又∵ ∠ACB=90°, ∴ ∠BCD=∠ACB-∠ACD=60°, 即α=60°. (2) 在△ABC中, ∵ ∠A=45°,∠ACB=90°, ∴ ∠B=45°. 在△CDE 中, ∵ ∠D=30°,∠DCE=90°, ∴ ∠E=60°. ∵ DE∥AB, ∴ ∠CFA=∠E=60°. 又∵ ∠CFA=∠B+∠BCE, ∴ ∠BCE=60°-45°=15°. ∴ ∠BCD=∠DCE+∠BCE=105°, 即α=105°. (3) ∠1+∠2+∠3的度数不改变. ∵ ∠ACD+∠CAB=∠D+∠AFD, ∠CAB=45°,∠D=30°, ∴ ∠AFD - ∠ACD = ∠CAB - ∠D=15°. 又∵ ∠1+ ∠2= ∠AFD,∠3= 90°-∠ACD, ∴ ∠1+∠2+∠3=∠AFD+90°- ∠ACD=90°+15°=105°. ∴ ∠1+∠2+∠3的度数不改变,为 105°. 第2课时 旋转的特征 1. C 2. B 3. 1 4. (1) 如图,△A1O1B1即所求作. (2) 如图,△A2O2B2即所求作. (第4题) 5. C [解析]由题意可知,△ABC 绕 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 54 点B 按顺时针方向旋转后与△DBE 重合,点A,C 的对应点分别是D, E.∴ ∠ABC=∠DBE,∠C=∠E, AB=DB,AC=DE.∴ BC 平 分 ∠ABE.故选项A,B,D都正确,不符 合题意.由于∠E 与∠CBE 不一定相 等,∴ ∠C与∠CBE 不一定相等,即 无法判定AC 与BE 平行.故选项C 不一定正确,符合题意. 6. B [解析]∵ ∠B=30°,∠C= 90°,∴ ∠CAB=180°-∠B-∠C= 60°.∵ 将△ABC绕顶点A按顺时针方 向旋转得到△AB'C',∴ ∠C'AB'= ∠CAB=60°.∵ 点B'恰好落在CA 的延 长 线 上,∴ ∠BAC'=180°- ∠CAB-∠C'AB'=60°. 7. C [解析]由△ABC 绕点O 按顺 时针 方 向 旋 转 可 知,旋 转 角 是 ∠AOA',故 选 项 B 正 确,不 合 题 意.根据旋转的性质,得OA=OA',故 选项A正确,不合题意.由旋转的性 质和作图,得选项C错误,符合题意, 选项D正确,不合题意. 8. B [解析]由旋转的性质可知,对 应点到旋转中心的距离相等.借助网 格可以发现,题图中给出的点中,只有 点B 符合题意. 9. 50° [解析]∵ 将△AOB 绕点O 按 顺 时 针 方 向 旋 转 75°得 到 △A1OB1,∴ ∠A1OB1=∠AOB= 55°,∠AOA1=75°.∴ ∠A1OD = 180°-55°-75°=50°.∵ 直线a∥b, ∴ ∠1=∠A1OD=50°. 10. 根据旋转的特征,可得涂色部分 的面积等于大圆面积的1 4. ∴ 涂 色 部 分 的 面 积 为 1 4 ×π× 4 2 2 =π(cm2). 11. (1) ∵ 将△ABC 绕点B 按顺时 针方向旋转得到△EBD, ∴ ∠ABC=∠EBD. ∴ 易得∠ABE=∠CBD. ∵ BC平分∠EBD, ∴ ∠EBC=∠CBD. ∴ ∠CBD=∠ABE=∠EBC. 又∵ ∠CBD+∠ABE+∠EBC= 180°, ∴ ∠CBD=∠ABE=∠EBC=60°. (2) ∵ ∠APB=∠PBC+∠C= 60°+∠C,∠A=∠CBD-∠C= 60°-∠C, ∴ ∠APB>∠A. 12. (1) 如图,四边形AB1C1D1 即为 所求. (2) 四边形AB1C1D1 的面积为3× 4-12×1×3- 1 2×1×3=9. (第12题) 13. AE=BD,AE⊥BD. 理由:∵ ∠ACD=∠BCE=90°, ∴ ∠ACD + ∠DCE = ∠BCE + ∠DCE,即∠ACE=∠DCB. 又∵ AC=DC,EC=BC, ∴ △ACE 绕点C按顺时针方向旋转 90°可得到△DCB. ∴ AE=BD,∠CAE=∠CDB. 如图,设AE 与BD 交于点F. ∵ ∠CAD+∠CDA=90°, ∴ ∠CAD - ∠CAE + ∠CDA + ∠CDB=90°,即∠FAD+∠FDA= 90°. ∴ ∠AFD=90°,即AE⊥BD. 综上所述,AE=BD,AE⊥BD. (第13题) 第3课时 旋转对称图形 1. D 2. D 3. 4 72° 4. 题图①是旋转对称图形,绕中间小 圆的圆心旋转72°或144°或216°或 288°后能与自身重合. 题图②是旋转对称图形,绕图形的中 心旋转90°或180°或270°后能与自身 重合. 题图③不是旋转对称图形. 题图④是旋转对称图形,绕圆的圆心 旋转45°或90°或135°或180°或225° 或270°或315°后能与自身重合. 5. C [解析]从左边数第1,2,3个图 形是旋转对称图形,第4个图形不是 旋转对称图形.∴ 是旋转对称图形的 有3个. 6. D [解析]选项A,B,C中的图案 都至少绕旋转中心旋转60°后会与自 身重合,而选项D中的图案至少绕旋 转中心旋转45°就会与自身重合. 7. ①②③ 8. 4 [解析]由题图可知,涂色部分 的面积之和等于一个叶片的面积, ∴ 涂色部分的面积之和为4cm2. 9. (1) 如图所示. (2) 是轴对称图形,对称轴的条数为 4,这个整体图形至少旋转90°后才能 与自身重合. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 64