课时作业(二十五) 3.2.２空间向量的数量积-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

课时作业(二十五)　空间向量的数量积 [练基础] 1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的(　　) A．充分不必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于(　　) A．12 B．8＋ C．4 D．13 3．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(　　) A．－6 B．6 C．3 D．－3 4．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　) A．a2 B.a2 C.a2 D.a2 5．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　) A. B. C．－ D．0 6．[多选题]已知正方体ABCD­A1B1C1D1，则下列向量的数量积可能为0的是(　　) A.· B.· C.· D.· 7．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________. 8．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝________. 9．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则·＝________，与所成角的大小为________． 10．已知正三棱锥A­BCD的侧棱长和底面边长均为a，点E，F分别是AB，AD上的点，且AEEB＝AFFD＝12，求下列向量的数量积： (1)·；(2)·；(3)·. [提能力] 11．如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为(　　) A. B. C. D. 12．[多选题]在空间四边形ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，则下列结论成立的是(　　) A．|＋＋|＝|＋－| B．|＋＋|2＝||2＋||2＋||2 C．(＋＋)·＝0 D.·＝·＝· 13．已知空间向量a，b，|a|＝3，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为________． 14．如图，已知正四面体ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________． 15．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是边长为的正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC. (1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； (2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱长． [培优生] 16．如图，正四面体V­ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M. (1)求证：AO，BO，CO两两垂直； (2)求〈，〉． 课时作业(二十五) 1．解析：∵a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝|a||b| ∴cos 〈a，b〉＝1，∴〈a，b〉＝0 当a与b反向时，不能成立．故选A. 答案：A 2．解析：(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos 120°＝2×4－2×5×(－)＝13.故选D. 答案：D 3．解析：由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0， |e1|＝|e2|＝1， ∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0， ∴2k－12＝0，∴k＝6. 答案：B 4．解析：·＝(＋)·＝(·＋·)＝＝a2.故选C. 答案：C 5．解析：·＝·(－)＝·－·＝||||cos ∠AOC－||||cos ∠AOB＝||||－||||＝0， ∴⊥，∴cos 〈，〉＝0.故选D. 答案：D 6．解析：对于选项A，在正方形ADD1A1中，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有AD1·B1C＝0；对于选项B，在正方形ABCD中，AC⊥BD，易得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时有·＝0；对于选项C，由正方体的性质，可得AB⊥平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此时必有·＝0；对于选项D，由正方体的性质，可得BC⊥平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1不可能垂直，即·≠0.故选ABC. 答案：ABC 7．解析：将|a－b|＝两边平方，得(a－b)2＝7. 因为|a|＝2，|b|＝2，所以a·b＝. 又a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉，故cos 〈a，b〉＝. 答案： 8．解析：原式＝·＋·＋·(－) ＝·(－)＋·(＋) ＝·＋·＝0. 答案：0 9．解析：方法一　连接A1D，则∠PA1D就是B1C与A1P所成角．连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D