专题10 与三个距离公式有关的综合压轴题（三大题型）-2024年中考数学压轴题专项训练（湖南专用）

专题10 三个距离公式压轴题专题 通用的解题思路： 中考压轴题中常用的三个距离公式： ①普通的两点之间距离公式 ②二次函数与轴两交点距离公式 ③一次函数与曲线（二次函数或者反比例函数均可）两交点距离公式： 弦长公式，其中为一次函数的一次项系数。 第Ⅰ类：普通的两点之间距离公式的应用 1．阅读下列一段文字，然后回答下列问题． 已知在平面内两点、，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知、，试求A、B两点间的距离； (2)已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为-1，试求A、B两点间的距离； (3)已知一个三角形各顶点坐标为、、，你能判定此三角形的形状吗？说明理由； (4)在上一问的条件下，平面直角坐标中，在x轴上找一点P，使的长度最短，求的最短长度． 2．阅读下列一段文字：已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2、y2），其两点间的距离问题解决：已知A（1，4）、B（7，2） （1）试求A、B两点的距离； （2）在x轴上找一点P（不求坐标，画出图形即可），使PA+PB的长度最短，求出PA+PB的最短长度； （3）在x轴上有一点M，在Y轴上有一点N，连接A、N、M、B得四边形ANMB，若四边形ANMB的周长最短，请找到点M、N（不求坐标，画出图形即可），求出四边形ANMB的最小周长． 3．（青竹湖）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点、、．其中，． （1）当时．①该二次函数的图象的对称轴是直线 　 　；②求该二次函数的表达式． （2）当时，若该二次函数的最大值为4，求的值． （3）若同时经过点、、的圆恰好与轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标． 4．（中雅）已知是的函数，若函数图象上存在一点，满足，则称点为函数图象上“梦幻点”． 例如：直线上存在的“梦幻点” ． （1）求直线上的“梦幻点”的坐标； （2）已知在双曲线上存在两个“梦幻点”？且两个“梦幻点”之间的距离为，求的值． （3）若二次函数的图象上存在唯一的梦幻点，且时，的最小值为，求的值． 第II类：二次函数与轴两交点距离公式的应用 5．（青竹湖）定义若抛物线与直线有两个交点，则称抛物线为直线的“双幸运曲线”，其交点为该直线的“幸运点”． （1）已知直线解析式为，下列抛物线为该直线的“双幸运曲线”的是 　　；（填序号） ①；②；③； （2）如图，已知直线，抛物线为直线的“双幸运曲线”，“幸运点”分别为、，在直线上方抛物线部分是否存在点使面积最大，若存在，请求出面积的最大值和点坐标，若不存在，请说明理由； （3）已知轴的“双幸运曲线” 经过点，，在轴的“幸运点”分别为、，试求的取值范围． 6．（长沙中考2020）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各题． （1）在下列关于的函数中，是“函数”的，请在相应题目后面的括号中打“”，不是“函数”的打“”． ①　　；②　　；③　　． （2）若点与点是关于的“函数” 的一对“点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，求，，的值或取值范围． （3）若关于的“函数” ，，是常数）同时满足下列两个条件：①，②，求该“函数”截轴得到的线段长度的取值范围． 7．（立信）定义：与坐标轴不重合的直线交，轴于、两点、不重合），若抛物线过点和点，则称此抛物线为直线的“和谐线”，如图，均为直线的“和谐线”． （1）已知直线的解析式为，则下列抛物线是直线的“和谐线”的有　 　． ①；②；③． （2）已知直线的“和谐线”为，且直线与双曲线交于点，，求线段的长． （3）已知直线的“和谐线”为，求该“和谐线”在轴上所截线段长的取值范围． 8．（师大）我们约定：记，，可表示平面直角坐标系中一点的坐标，作如下运算规定：，．例如：若，，则，，，． （1）已知，，若，则　　； （2）已知，（其中，若直线经过点，求以为顶点且图象经过的抛物线解析式； （3）已知有关于的二次函数，，，若满足：①表示的点在轴上，②，记该二次函数与轴的两交点的横坐标为，，求的取值范围． 9．（长郡）定义：若存在实数对坐标同时满足一次函数和反比例函数，则二次函数为一次函数和反比例函数的“生成”函数． （1）试判断（需要写出判断过程）：一次函数和反比例函数是否存在“生成”函数，若存在，写出它们的“生成”函数和实数对坐标． （2）已知：整数，，满足条件，并且一次函数与反比例函数存在“生成”函数，求的值． （3）若同时存在两组实数对坐标，和，使一次函数和反比例函数为“生成”函数，其中，实数，，设，求的取值范围． 10．（华益）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横