大题03 直线与椭圆的关系（3大高考题型）-【大题精做】冲刺2024年高考数学大题突破+限时集训（天津专用）

大题03直线与圆锥曲线综合 在解答题中，直线与圆锥曲线综合问题是高考的热点，涉及直线与圆锥曲线关系中的求弦长、面积及弦中点、定点、定值、参数取值范围和最值等问题．一般考察是直线与椭圆关系，多属于解答中的综合问题．近两年难度上有上升的趋势，但更趋于灵活。 题型一：圆锥曲线三角形面积与四边形面积 例1．已知椭圆的左焦点为，且过点. (1)求C的方程； (2)不过原点O的直线与C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列. （i）求的斜率； （ii）求的面积的取值范围. 1、三角形的面积处理方法 （1）底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高） （2）水平宽·铅锤高或 （3）在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为． 2、三角形面积比处理方法 （1）对顶角模型 （2）等角、共角模型 3、四边形面积处理方法 （1）对角线垂直 （2）分割两个三角形 1．已知椭圆的离心率为，左焦点为，过的直线交椭圆于、两点，点为弦的中点，是坐标原点，且由于不与，重合． (1)求椭圆的方程； (2)若是延长线上一点，且的长度为，求四边形面积的取值范围． 2．已知直线与椭圆交于A，B两点，若椭圆上存在C，D两点关于直线l对称． (1)求实数m的取值范围； (2)若O为坐标原点，当的面积最大时，求直线l的方程． 3．已知椭圆的离心率为，点到椭圆右焦点距离等于焦距. (1)求椭圆标准方程； (2)过点斜率为的直线与椭圆交于两点，且与轴交于点，线段的垂直平分线与轴，轴分别交于点，点为坐标原点，求的值. 题型二：一类与斜率和、差、商、积问题的探究 1．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点，，是异于A，的动点，，分别是直线，的斜率，且满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)在线段上是否存在定点，使得过点的直线交的轨迹于，两点，且对直线上任意一点，都有直线，，的斜率成等差数列.若存在，求出定点，若不存在，请说明理由. 1、已知是椭圆上的定点，直线（不过点）与椭圆交于，两点，且，则直线斜率为定值． 2、已知是双曲线上的定点，直线（不过点）与双曲线交于，两点，且，直线斜率为定值． 3、已知是抛物线上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，两点，若，则直线斜率为定值． 4、为椭圆上一定点，过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于两点． （1）若，则直线过定点； （2）若，则直线过定点 1、已知椭圆经过点，离心率为．过点的直线l与椭圆E交于不同的两点M，N． (1)求椭圆E的方程； (2)设直线AM和直线AN的斜率分别为和，求的值． 2．在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，已知两点，点M满足，记点M的轨迹为G． (1)求曲线G的方程： (2)若P，C，D为曲线G上的三个动点，的平分线交x轴于点，点Q到直线PC的距离为1． （ⅰ）若点Q为重心，求点P的坐标； （ⅱ）若，求a的取值范围． 3．已知椭圆的焦点分别是，点在椭圆上，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，且，求实数的值． 4．已知点在曲线上，为坐标原点，若点满足，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)设是上的两个动点，且以为直径的圆经过点，证明：为定值． 题型三：圆锥曲线中的定点、定值问题 1．已知椭圆过点两点，椭圆的离心率为，为坐标原点，且. (1)求椭圆的方程； (2)设P为椭圆上第一象限内任意一点，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，求证：四边形的面积为定值. 即四边形的面积为定值 1、求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 2、求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明． 3、一般解题步骤： ①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个． ②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉． ③参数无关找定点：找到和没有关系的点 1．已知椭圆的离心率为且过点 (1)求的方程； (2)若点在上，在下面两个问题中选择一个，并作答． ①若证明直线经过定点． ②若直线的倾斜角互补，证明直线的斜率为定值． 2．已知分别是椭圆的左､右焦点，是上位于轴上方的两点，//，且与的交点为，MF1的延长线与C交于Q点. (1)证明：Q，N关于坐标原点对称； (2)求四边形的面积S的最大值； (3)证明