上海市南洋模范中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年上海市南模中学高二年级下学期 期中数学试卷 2024.4 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.直线与平行，则实数______. 2.已知圆，直线被圆截得的弦长为______. 3.设在处的导数为2，则______. 4.若直线与椭圆恒有两个不同的公共点，则的取值范围是______. 5.已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则______. 6.已知点，分别是直线与直线上的点，则的取值范围是______. 7.如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为______. 8.已知点，，点为椭圆上的动点，则的最小值为______. 9.定义：点为曲线外的一点，，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角．已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为______. 10.已知曲线，要使直线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是______. 11.在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，， 记，，，，，，．则由中的所有点所组成的图形的面积是______. 12.已知，为双曲线的左、右焦点．，是双曲线右支上的一点，连接并过作垂直于的直线交双曲线左支于，，其中，，△为等腰三角形，则双曲线的离心率为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.已知直线，直线，则关于对称的直线方程为　　 A． B． C． D． 14.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为　　 A．5 B． C． D． 15.已知，关于直线对称的圆记为，点，分别为，上的动点，长度的最小值为4，则　　 A．或 B.或 C．或 D．或 16.已知点是椭圆上一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为△的内心，若成立，则的值为　　 A． B． C． D．2 三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点． （1）求直线的方程； （2）直线恒过定点，求点到直线的距离 18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 直线与圆交于、两点，、两点的坐标分别为，，，，且，是方程的两根． （1）求弦的长； （2）若圆的圆心为，求圆的一般方程 19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数，直线与轴交于点． （1）求过点的的切线方程； （2）若点在函数图象上，且在点处的切线与直线平行，求点坐标 20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 设抛物线的方程为，点的坐标为． （1）过点，斜率为的直线交抛物线于，两点，求线段的长； （2）设是抛物线上的动点，是线段上的一点，满足，求动点的轨迹方程； （3）设，是抛物线的两条经过点的动弦，满足．点，分别是弦与的中点，是否存在一个定点，使得，，三点总是共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由 21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知椭圆，是其左顶点，过点且不与轴重合的直线与交于、两点. （1）若直线垂直于轴，求线段的长度； （2）若，且点在轴上方，求、两点的坐标； （3）设直线与轴交于点，直线与轴交于点.是否存在直线，使得的面积是的两倍？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 第1页(共5页) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年上海市南模中学高二年级下学期 期中数学试卷 2024.4 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.直线与平行，则实数______. 【答案】 【解析】直线与平行，，求得 2.已知圆，直线被圆截得的弦长为______. 【答案】 【解析】圆，圆心，半径为2，圆的圆心到直线的距离：， 所求弦长为： 3.设在处的导数为2，则______. 【答案】 【解析】 4.若直线与椭圆恒有两个不同的公共点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】椭圆，则，且， 直线恒过点，要使直线与椭圆恒有两个公共点， 则必在椭圆内部，，则， 综上可知：的取值范围 5.已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则______. 【答案】 【解析】由抛物线为的性质可知，得