5.存在性讨论-（备考2024）2023年全国中考真题数学试题分类精粹

248 5. 存在性讨论 ▶ 相应“答案与解析”见P74 1. (2023·云南)数和形是数学研究客观物体 的两个方面,数(代数)侧重研究物体数量方 面,具有精确性,形(几何)侧重研究物体形 的方面,具有直观性.数和形相互联系,可用 数来反映空间形式,也可用形来说明数量关 系.数形结合就是把两者结合起来考虑问 题,充分利用代数、几何各自的优势,数形互 化,共同解决问题. 结合所学的数学知识解决问题. 在平面直角坐标系中,若点的横坐标、纵坐 标都为整数,则称这样的点为整点.设函数 y=(4a+2)x2+(9-6a)x-4a+4(a为常 数)的图像为T. (1) 求证:无论a 取什么实数,图像T 与 x轴总有公共点. (2) 是否存在整数a,使图像T 与x 轴的公 共点中有整点? 若存在,求所有整数a 的 值;若不存在,请说明理由. 2. (2023·郴州)已知抛物线y=ax2+bx+4 与x轴相交于点A(1,0)、B(4,0),与y轴相 交于点C. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 如图①,P 是抛物线的对称轴直线l上 的一个动点,当△PAC 的周长最小时,求 PA PC 的值. (3) 如图②,取线段OC 的中点D,在抛物线 上是否存在点Q,使tan∠QDB=12 ? 若存 在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 第2题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 249 3. (2023·成都)如图,在平面直角坐标系中, 抛物线y=ax2+c 经过点P(4,-3),与 y轴交于点A(0,1),直线y=kx(k≠0)与抛 物线交于B、C 两点. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 若△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形, 求点B 的坐标. (3) 过点 M(0,m)作y 轴的垂线,交直线 AB 于点D,交直线AC 于点E.试探究:是 否存在常数m,使得OD⊥OE 始终成立? 若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由. 第3题 4. (2023·衡阳)如图,抛物线y=ax2-2ax+ 3与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交 于点C,连接AC,过B、C 两点作直线. (1) 求a的值. (2) 将直线BC 向下平移m(m>0)个单位 长度,交抛物线于B'、C'两点.在直线B'C' 上方的抛物线上是否存在定点D,无论m 取 何值时,都是点D 到直线B'C'的距离最大? 若存在,请求出点D 的坐标;若不存在,请说 明理由. (3) 抛物线上是否存在点P,使∠PBC+ ∠ACO=45°? 若存在,请求出直线BP 对应 的函数表达式;若不存在,请说明理由. 第4题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十六章　新题型专题　　　　 250 5. (2023·济宁)如图,直线y=-x+4交x轴 于点B,交y轴于点C,对称轴为直线x= 3 2 的抛物线经过B、C 两点,交x 轴负半轴于 点A.P 为抛物线上一动点,点P 的横坐标 为m,过点P 作x 轴的平行线,交抛物线于 另一点M,作x轴的垂线PN,垂足为N,直 线MN 交y轴于点D. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 若0<m<32 ,当m 为何值时,四边形 CDNP 是平行四边形? (3) 若m<32 ,设直线MN 交直线BC 于点 E,是否存在这样的m 值,使 MN=2ME? 若存在,求出此时m 的值;若不存在,请说明 理由. 第5题 6. (2023·湘潭)如图,二次函数y=x2+bx+ c 的图像与x轴交于A、B 两点,与y轴交于 点C,其中点B、C的坐标分别为(1,0)、(0,3). (1) 求这个二次函数的表达式. (2) 在二次函数图像上是否存在点P,使得 S△PAC=S△ABC?