19.1-3命题和证明① 教学设计 2023—2024学年上海市沪教版（上海）数学八年级第一学期

课题：19.1命题和证明① 教材：上海教育出版社　九年义务教育课本　八年级　第一学期（试用本） 执教：浦东新区 上海市浦东教育发展研究院 沈惠华 【教学目标】 1．初步理解演绎证明的含义及其因果关系的表述；演绎证明的必要性；演绎证明的过程． 2．体会演绎证明是一种严格的数学证明，所获得的结论最为可靠，是人类理性精神的闪光． 【教学重点与难点】 重点：理解演绎证明的过程． 难点：演绎证明因果关系的表述． 【教学技术与资源使用】 PPT 【教学过程】 1、 复习引入 一般来说，证明是指人们为获得使人信服的结论所采用的手段，有“实践证明”、“历史证明”、“实验证明”、“举例证明”等多种形式；而对数学结论的正确性进行证明，还有更为严格的形式． 怎样才算严格的数学证明呢？下面以“对顶角相等”为例进行分析． 你会用哪些方法导出“对顶角相等”？ 师生一起回顾七年级第二学期数学课本所学知识. 方法一：直观说明. 方法二：操作确认. 方法三：推理论证. 上述这三种方法中，哪一种最可靠、最有说服力？ 分析比较这三种方法，继而发现：第三种方法最可靠、最有说服力. 第一种方法是凭个人观察进行判断.眼见为实，几何直观很重要，但是直观往往只能认识表面现象，还需要提高到理性认识，才能掌握事物的本质. 第二种方法是通过人们的实践进行检验.因为这种检验可以无数次重复，而结论总是基本相同，所以有较高的真理性，但是，测量难免有误差，叠合的方法还需要讲道理. 第三种方法是完全依靠理性进行推导.它不凭任何人的感觉，而是按照“有此因就有其果”的规则，符合逻辑地推导出结论.这一证明方法是严格的，也是最为可靠的. 二、新知讲授 像第三种方法，称为演绎推理（或演绎法），演绎推理的过程就是演绎证明．也就是说演绎证明是指：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程． 演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法．演绎证明是一种严格的数学证明，是我们现在要学习的证明方式．在本书中演绎证明以后简称为证明． 在代数中也用演绎推理，例如已知2x+3=5,求x． 解：因为2x+3=5（已知）,所以2x=2（等式性质）．所以x=1（等式性质）． 学习演绎证明，可以使我们的思维严格、缜密，其表达条理清楚、无可辩驳，是提高逻辑思维能力的有效途径． 并不是所有的真理都可以进行演绎证明．在其他领域内，上文所说的各种证明方式仍然有它特定的效率． 你会用哪些方法导出“三角形内角和等于180°”？ 师生一起回顾七年级第二学期数学课本所学知识.梳理几何研究的方法. 我们曾用测量、拼图的方法得到了“三角形内角和等于180°”的猜想，然后又用推理的方法证明了这个猜想. 由于证明的需要，可以在原来图形上添画一些线，像这样的线叫做辅助线．辅助线通常画成虚线． 通过以上两例，我们初步知道了什么是演绎证明．还从中看到演绎证明的每一步推理都必须有依据，通常把每一步的依据写在由其得到的结论后面的括号内；整个证明由一段一段的因果关系连接而成，段与段前后连贯，有序展开． 以“对顶角相等”的证明为例． 请学生分析共有几个逻辑段，并分别指出“因”“果”以及确立因果关系的“依据”． 第1段， 先说“因”—“∠1与∠2、∠2与∠3分别是邻补角”； 再说“果”—“∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°”； 然后在括号内表述确立因果关系的“依据”—“邻补角的意义”． 第2段， 所说的“因”是“∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180”； “果”是“∠1+∠2=∠2+∠3”； “依据”是“等量代换”． 第3段， 所说的“因”是“∠1+∠2=∠2+∠3”； “果”是“∠1=∠3”； “依据”是“等量减等量，差相等”． 三、习题训练 1．阅读下面的证明过程，说一说其中的因果关系． 已知：如图，∠AOC与∠COB互为邻补角，OD平分∠AOC，OE平分∠COB． 求证：∠DOE=90°． 证明：因为OD平分∠AOC（已知）， 所以∠DOC=∠AOC（角平分线的意义）． 同理∠COE=∠COB． 所以∠DOC＋∠COE=∠AOC＋∠COB =（∠AOC＋∠COB）（等式性质）． 因为∠AOC与∠COB互为邻补角（已知）， 所以∠AOC＋∠COB=180°（邻补角的意义）． 得∠DOC＋∠COE=90°（等量代换）， 所以∠DOE=90°． 2． 已知：如图，点D、E、F分别在△ABC的边BC、AB、AC上，且DF∥AB，DE∥AC， 试利用平行线的性质证明∠A＋∠B＋∠C=180°． （第二题增加一个要求：说一说其中的