广东省深圳市北京师范大学南山附属学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

2023-2024学年第二学期 高二年级第一次月考 数学学科试卷 【时间：120分钟 总分：150分】 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 直线：与直线：平行，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线的倾斜角为 D. 过点且垂直于直线的直线方程为 3. 设f(x)是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 4. 已知三角形的周长为，且，，则顶点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 直线与曲线和圆都相切，则直线斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数有极值，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 8．已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（    ）. A．8 B．9 C．11 D．10 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10．已知正方体的棱长为，点分别是棱，的中点，点是侧面内一点含边界 若平面，则下列说法正确的有（    ） A．点的轨迹为一条线段 B．三棱锥的体积为定值 C．的取值范围是 D．当点P在DD1上时，异面直线D1E与BP所成的角的余弦值是. 11．在平面直角坐标系中，点，动点，记到轴的距离为.将满足的的轨迹记为，且直线：与交于相异的两点，，则下列结论正确的为（    ） A．曲线的方程为 B．直线过定点 C．的取值范围是 D．的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．在中，角、、所对的边分别是、、．且． 则角= 。 13．已知数列的前项和为，且，则 . 14. 已知函数，对任意且，恒有成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）已知函数在点处的切线方程为． (1)求实数和的值； (2)求在上的最大值（其中e是自然对数的底数）． 16．（15分）已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值． 17. （15分）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，四边形为菱形，且，平面平面，点为棱的中点． （1）求证：； （2）棱上是否存在异于端点的点，使得二面角的余弦值为？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 18．(17分)已知抛物线上的点与焦点的距离为，且点的纵坐标为. （1）求抛物线的方程和点的坐标； （2）若直线与抛物线相交于两点，且，证明直线过定点. 19.（17分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对恒成立，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期 高二年级第一次月考 数学学科 答案解析 1. 直线：与直线：平行，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】当时，有，故或， 当时，的方程为，的方程为，此时两条直线重合，不符合； 当时，的方程为，的方程为，符合； 综上，“”是“”的充要条件， 故选：B. 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线的倾斜角为 D. 过点且垂直于直线的直线方程为 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线所过定点的坐标，可判断A选项；根据直线截距的定义可判断B选项；求出直线的倾斜角，可判断C选项；根据两直线垂直求出所求直线方程，可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线方程可化为，由，解得， 故直线必过定点，A对； 对于B选项，直线在轴上的截距为，B对； 对于C选项，直线的斜率为，故该直线的倾斜角为，C错； 对于D选项，直线的斜率为， 故过点且垂直于直线的直线方程为，即，D对. 故选：C 3. 设f(x)是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C