第05讲 利用导数研究不等式恒成立问题(讲义)- 2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第05讲 利用导数研究不等式恒成立问题 1 恒成立问题 恒成立上的； 恒成立上的； 2常见处理方法 方法1 直接构造函数法：求恒成立恒成立. 方法2 分离参数法：求其中恒成立恒成立. 方法3 变更主元：题型特征(已知谁的范围把谁作为主元)； 方法4 数形结合法：求恒成立证明的上方； 方法5 同构法：对不等式进行变形，使得不等式左右两边式子的结构一致，再通过构造的函数单调性进行求解； 方法6 放缩法：利用常见的不等式或切线放缩或三角函数有界性等手段对所求不等式逐步放缩达到证明所求不等式恒成立的目的； 学习各种方法时，要注意理解它们各自之间的优劣性，有了比较才能快速判断某种题境中采取哪种方法较简洁，建议学习时一题多解，多发散思考. 【题型1】 分类讨论法 【典题1】 (多选)(2024·河南信阳·一模)若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的值可以是(    ) A． B． C． D．2 【典题2】 (2024·山西吕梁·一模)已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求正实数的取值集合． 【巩固练习】 1. (2024·云南昆明·一模)“曲线恒在直线的上方”的一个充分不必要条件是(    ) A． B． C． D． 2. (2024·广东·模拟预测)若对于任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 3.(2024·浙江金华·模拟预测)若对任意实数，则的最大值为 ． 4.(2024·全国·模拟预测)已知函数，． (1)求函数的图像在点处的切线方程； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 5. (2024·江苏·模拟预测)已知函数，． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)若，恒成立，求的取值范围． 【题型2】 分离参数法 【典题1】 (2024·广东·模拟预测)当时，恒成立，则整数的最大值为(    ) A．3 B．2 C．1 D．0 【典题2】 (2024·广东广州·一模)已知函数，其导函数为. (1)若在不是单调函数，求实数a的取值范围； (2)若在上恒成立，求实数a的最小整数值. 【巩固练习】 1. (多选)(2024·新疆·一模)设，若在上恒成立，则实数 a的值可以是(    )(附:) A． B．3 C．2 D． 2. (2024·陕西西安·一模)若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 3. (2024·四川南充·二模)已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 4.(2024·山东枣庄·一模)已知． (1)讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 5.(2024·辽宁葫芦岛·一模)已知函数在处的切线与直线平行． (1)求的单调区间； (2)当时，恒有成立，求k的取值范围． 【题型3】 同构法 【典题1】 (2024·全国·模拟预测)若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【巩固练习】 1. (2024·全国·模拟预测)若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 2. (2023·吉林长春·一模)不等式对都成立，则实数的取值范围是 ． 3.(2024·河南郑州·一模)，不等式恒成立，则正实数的最大值是 ． 4.(2023·湖南永州·一模)若函数，当时，恒有，则实数t的取值范围 ． 【题型4】 放缩法 【典题1】 (2024·陕西西安·一模)若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【巩固练习】 1. (2024·全国·模拟预测)已知函数，若对任意的，成立，则的最大值是(    ) A． B． C．1 D．e 2.(2023·四川成都·一模)已知函数，当时，恒成立，则实数的最大值为 . 3. (2024·黑龙江哈尔滨·二模)已知函数. (1)求时，在处的切线方程； (2)讨论在上的最值情况； (3)恒成立，求实数的取值范围. 【题型5】 综合方法 【典题1】 (2024·浙江·一模)已知曲线，直线，若对任意，直线始终在曲线下方，则实数的取值范围为 ． 【典题2】 (2024·四川成都·二模)已知函数. (1)判断的零点个数并说明理由； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【巩固练习】 1.(2024·山东济南·一模)若不等式对任意的恒成立，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 2.(2024·山东菏泽·一模)关于的不等式恒成立，则的最小值为