素养提升点3-13圆锥曲线中的斜率和、差、商、积问题讲义-2024届高三数学二轮复习

素养提升点3-13 圆锥曲线中的斜率和、差、商、积问题（原卷版） 【知识拓展】 1、已知是椭圆上的定点，直线（不过点）与椭圆交于，两点，且，则直线斜率为定值． 2、已知是双曲线上的定点，直线（不过点）与双曲线交于，两点，且，直线斜率为定值． 3、已知是抛物线上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，两点，若，则直线斜率为定值． 4、为椭圆上一定点，过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于两点． （1）若，则直线过定点； （2）若，则直线过定点． 5、设是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过作两条直线，交椭圆于、、、，直线，的斜率分别为，，弦，的中点记为，． （1）若，则直线过定点； （2）若，则直线过定点． 6、过抛物线上任一点引两条弦，，直线，斜率存在，分别记为，即，则直线经过定点． 核心突破题型一：斜率和的问题 【例题1】（2024·江西萍乡高三模拟）在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，．(1)求椭圆的方程； (2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标． 【例题2】（2023·山东济南高三专题检测）已知椭圆经过点，离心率为．过点的直线l与椭圆E交于不同的两点M，N． (1)求椭圆E的方程； (2)设直线AM和直线AN的斜率分别为和，求的值． 【例题3】（2023·辽宁抚顺高三专题检测）已知抛物线与抛物线在第一象限交于点. (1)已知为抛物线的焦点，若的中点坐标为，求； (2)设为坐标原点，直线的斜率为.若斜率为的直线与抛物线和均相切，证明为定值，并求出该定值. 【变式1-1】（2024·广西高三模拟预测）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，点关于轴的对称点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)、是抛物线上异于点的两个动点，记直线和直线的斜率分别为、，若，求证：直线过定点． 【变式1-2】（2024·陕西榆林高三模拟预测）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点. (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值. 【变式1-3】（2024·云南红河中学高三模拟预测）设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且． (1)求抛物线E的方程； (2)设为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为和．求证：为定值． 【变式1-4】（2024·安徽省蚌埠高三模拟预测）已知椭圆的左､右焦点为，，且左焦点坐标为，为椭圆上的一个动点，的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. 【变式1-5】（2024·福建泉州高三模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别是，过点的直线交于两点（异于）.当直线过点）时，恰好为的中点. (1)求的离心率； (2)若，直线与交于点，直线的斜率分别为，证明：是定值. 核心突破题型二 斜率差的问题 【例题1】（2023·陕西师大附中校考开学考试）已知椭圆的两焦点分别为 ，A是椭圆上一点，当时，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于两点，线段的中点为，过作垂直轴的直线在第二象限交椭圆于点S，过S作椭圆的切线，的斜率为，求的取值范围. 【例题2】（2024·四川成都高三模拟预测）在平面直角坐标系中，已知定点A(1，0)，点M在轴上运动，点N在轴上运动，点P为坐标平面内的动点，且满足. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)点Q为圆上一点，由Q向C引切线，切点分别为S、T,记分别为切线QS，QT的斜率，当Q运动时，求的取值范围. 【变式2-1】（2024·黑龙江漠河高三模拟预测）如图,已知点是抛物线：的焦点,点在抛物线上,且. （1）若直线与抛物线交于两点,求的值; （2）若点在抛物线上,且抛物线在点处的切线交于点,记直线的斜率分别为,且满足,求证：的面积为定值. 【变式2-2】（2024·云南曲靖高三模拟预测）如图，已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右顶点，右焦点，，过且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，在轴上方． (1)求椭圆的标准方程； (2)记，的面积分别为，，若，求的值； (3)设线段的中点为，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，，求的值． 【变式2-3】（2024·河南开封高三模拟预测）设、为抛物线上的两点，与的中点的纵坐标为4，直线的斜率为. （1）求抛物线的方程； （2）已知点，、为抛物线（除原点外）上的不同两点，直线、的斜率分别为，，且满足，记抛物线在、处的切线交于点，若点、的中点的纵坐标为8，求点的坐标. 核心突破题型三 斜率差的问题 【例题