专题17 抛物线的简单几何性质讲义【7大考点】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题17 抛物线的简单几何性质高频考点精讲 1.四种抛物线的几何性质 标准方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 2.焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为. 1、抛物线，. 2、抛物线，. 3、抛物线，. 4、抛物线，. 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式. 3.直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）. 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有一个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. 4.直线与抛物线相交弦长问题 1、一般弦长 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为. （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）. （2）, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得.故，即. （3）直线的方程为. 2、焦点弦长 如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）. （4）若直线的倾斜角为，则. （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. （6）为定值. 考点一　判断抛物线的开口方向与大小 考点二　由抛物线的几何性质求标准方程 考点三　直线与抛物线的位置关系判断 考点四　抛物线中焦半径的问题 考点五　直线与抛物线相交弦长问题 考点六　抛物线的中点弦及点差法 考点七　抛物线中的定点定值最值问题 考点一　判断抛物线的开口方向与大小 1．（25-26高二上·宁夏固原·期末）（多选）对于抛物线，下列说法正确的是（    ）. A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程是 【答案】AC 【分析】根据抛物线的方程，求出的值，得出开口方向，即可得出答案. 【详解】A、B，由已知得，，且抛物线开口向上，所以焦点坐标为，故A正确、B错误； C，根据抛物线的定义可知，焦点到准线的距离为，故C正确； D，根据抛物线的方程可知，准线方程为，故D错误. 故选：AC. 2．（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）（多选）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 【答案】AD 【分析】根据抛物线标准方程依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A，，开口向左，故A正确； 对选项B，，焦点为，故B错误； 对选项C，，准线方程为，故C错误； 对选项D，，对称轴为轴，故D正确. 故选：AD 3．（2026·湖北·二模）在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由抛物线的性质，得抛物线中，越大，抛物线开口越大， 所以抛物线中，开口最大的为. 4．（25-26高二·全国·随堂练习）在同一坐标系中画出下列抛物线： （1）             （2）；             （3）． 再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数之间的关系． 【答案】 如图所示，在同一坐标系下画出抛物线，和图象， 由图象可得，当方程中的系数越大，抛物线的开口就越大. 【分析】在同一坐标系下画出抛物线，和图象，结合图象，即可求解. 【详解】略. 考点二　由抛物线的几何性质求标准方程 5．（25-26高二上·福建福州·期末）已知抛物线的焦点为F，过F作倾斜角为的直线l交抛物线C与A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为，则抛物线C的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题首先可设、，则、，然后两式相减，可得，再然后根据、两点在倾斜角为的直线上得出，最后根据线段中点的纵坐标为即可求出结果. 【详解】设，，则，， 两式相减得，即， 因为、两点在倾斜角为的直线上， 所以，即， 因为线段中点的纵坐标为，所以， 则，，抛物线的方程是， 故选：C. 6．（2026高三·全国·专题练习）已知为抛物线的焦点，过作垂直轴的直线交抛物线于、两点，以为直径的圆交轴于，两点，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知圆是以焦点为圆心，为半径的圆，根据弦长公式即得. 【详解】由题可知，由，可得， 所以，所以以为直径的圆的半径是，圆心为， 所以，， 解得， 所以抛物线方程. 故选：B. 7．（2026·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线上且（0为坐标原点），过点M且与抛物线相切的直线与y轴相交于点N，若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由求出点的坐标，进一步求出直线的方程，令，可求出点的坐标，得出，即可求出抛物线的方程. 【详解】由题意，，不妨设，则，化简为所以，则直线的斜率为：，所以所在直线方程为： ，令得．则，所以 所以抛物线的方程为． 故选：C． 8．（2026高三·全国·专题练习）抛物线焦点，过上一点作直线垂直准线于点，恰好为等腰直角三角形，其面积为，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据抛物线的定义可知，若恰好为等腰直角三角形，则，根据的面积为可求得的长，从而得出点的坐标，再将点的坐标代入抛物线方程便可得到的值. 【详解】根据抛物线的定义，得，又恰好为等腰直角三角形，所以，∴，∴， ∴，将其代入，得，解得 ∴抛物线方程为. 故选：D. 【点睛】利用抛物线的定义解题时，应灵活地将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，注意利用抛物线上一点到焦点的距离为或. 考点三　直线与抛物线的位置关系判断 9．（2027高三·全国·专题练习）已知抛物线，过点作直线，使与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】D 【分析】根据抛物线的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可. 【详解】当直线不存在斜率时，直线的方程为， 当时，，该方程无实根，此时直线与抛物线无交点； 当直线存在斜率时，设直线的方程为， 与抛物线方程联立，得， 当时，， 此时直线与抛物线 有且只有一个交点，符合题意； 当时，要想直线与抛物线有且只有一个公共点， 只需， 方程的判别式， 所以方程有两个不相等的实数根， 显然不是方程的实根， 所以满足条件的直线共有3条. 10．（25-26高二下·上海·期中）过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有______条. 【答案】 【分析】由于在抛物线外部，当直线与抛物线相切时，有两条直线与抛物线只有一个公共点，又点在轴上，轴与抛物线只有一个公共点，因此，一共有三条直线. 【详解】过点且斜率不存在的直线，与抛物线无交点， 因此，直线斜率存在时，设直线，与联立， 得：， 当直线与抛物线只有一个公共点， 当时，，得：， 则直线方程为或与抛物线相切， 即此时与抛物线有且只有一个公共点； 当时，直线方程为， 轴与抛物线只有一个公共点， 则共三条直线与抛物线有且只有一个公共点. 11．（26-27高二上·全国·课后作业）若直线与曲线恰好有一个公共点，则实数的取值集合为________． 【答案】 【分析】首先联立直线与曲线方程，讨论二次项系数，根据方程根的个数，求参数的取值. 【详解】因为直线与曲线恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数解， 消去，得，即．① 当，即时，方程①是关于的一元一次方程，解得，这时，原方程组有唯一解 当，即时，方程是关于的一元二次方程． 令，解得（舍去）或．此时原方程组有唯一解 综上，实数的取值集合是． 12．（25-26高二上·广东广州·期末）（多选）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．线段的长度为10 C．抛物线上恰有三个点，使得为等腰三角形 D．抛物线上恰有三个点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】对于A：可得抛物线的焦点坐标为，即可得结果；对于B：联立方程可得韦达定理，结合抛物线的定义运算求解；对于C：根据题意分析线段的中垂线以及圆与抛物线的交点，结合图象分析判断；对于D：先求点到直线的距离为的直线方程，再与抛物线联立判断交点个数即可. 【详解】对于选项A：因为抛物线的焦点在x轴正半轴上，且直线与x轴的交点为， 由题意可知：抛物线的焦点坐标为，即，即，故A正确； 对于选项B：可知抛物线方程为，设， 联立方程，消去可得，则， 所以，故B正确； 对于选项C：由图可知：线段的中垂线与抛物线必有2个交点， 此时，符合题意； 以为圆心，为半径的圆与抛物线至少有一个异于点的交点， 此时，符合题意； 以为圆心，为半径的圆与抛物线至少有一个异于点的交点， 此时，符合题意； 综上所述：使得为等腰三角形的点不止3个，故C错误； 对于选项D：设与平行的直线方程为， 则，解得或， 若，则直线为， 联立方程，消去y可得，解得， 可知直线与抛物线有且仅有一个交点； 若，则直线过点， 且点在抛物线内部，直线的斜率不为0， 可知直线与抛物线有2个交点； 综上所述：抛物线上恰有三个点到直线的距离为，故D正确； 故选：ABD. 考点四　抛物线中焦半径的问题 13．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）过抛物线E：的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，．若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设出直线方程，由焦半径公式得到，从而根据求出，从而通过焦半径公式转化得到，由几何关系得到距离和最小值， 【详解】设直线的方程为，与联立可得， 设，则， 因为，则， 则， 因为，所以直线的直线方程为， 故可得， 因为，所以， 即，解得， 故抛物线方程为，故焦点为，准线方程为， 设P到准线的垂线段为，为垂足， 则，故， 表示点到准线的距离与到点的距离之和， 故当三点共线时，距离和最小， 此时点坐标为，故， 即，的最小值为4. 14．（26-27高二上·重庆·期末）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，若，的面积为，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦半径公式求出点的横坐标，代入抛物线方程得到纵坐标，根据的面积为，列式即可求出答案. 【详解】设点， 根据焦半径公式可得，所以， 由于在第一象限，则， 由题意得， 解得. 故选：D. 15．（25-26高二上·四川自贡·期末）（多选）在平面直角坐标系中，过抛物线焦点F的直线与C相交于两点，过点A作抛物线C的切线PA，下列说法正确的是（    ） A．直线OA与OB的斜率之积为定值 B．当最小时，切线PA与x轴交点为 C．当时， D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】先设直线的方程为，再联立直线与抛物线方程，得到，，代入斜率公式即可判断A；根据抛物线的定义及基本不等式求得最小时的坐标，设切线PA的方程，再联立抛物线方程，由得到切线方程即可判断B；先结合A得到，，再根据题意得，利用焦点弦长求解即可判断C；利用两点距离和焦半径公式求得，然后利用换元法，利用函数的单调性求解范围即可判断D． 【详解】对于A，依题意可设直线的方程为，，， ，， 联立，消整理得， 则，代入得， 则直线OA与OB的斜率之积为，故A正确； 对于B， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，不妨取，则可设切线的方程为， 联立，消整理得， 则，解得，所以切线的方程为， 联立，解得，，即切线与准线的交点坐标为，故B正确； 对于C，结合A可得，， 由，得，解得，所以，故C错误； 对于D，， 令，则， 因为，所以，则，所以， 所以，故D正确． 故选：ABD． 16．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）（多选）如图，抛物线的焦点为，过点的直线与在第一象限内交于两点，，延长交于点，为坐标原点，则（    ） A． B．直线的斜率为 C． D． 【答案】ABD 【分析】设，直线方程，联立方程利用韦达定理结合，解得，利用弦长公式得到，直线的斜率为，进而依次判断各项的正误. 【详解】设，直线方程， 联立，得， 由韦达定理得， 因为，所以， 代入韦达定理，解得， 所以，故A正确； 直线的斜率为，故B正确； 因为为的中点，所以，故C错误； 由上分析知，， 所以的直线方程， 联立，得， 所以或，即， 所以关于轴对称，则，故D正确. 故选：ABD 考点五　直线与抛物线相交弦长问题 17．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知抛物线，若两点在抛物线上，焦点为，，则直线的斜率为__________． 【答案】 【分析】设，，利用抛物线的定义用表示进而得出之间的关系，最后代入到弦长公式里即可求解. 【详解】 设，， 因此：，得， ，得， 因此，直线斜率必然存在， 由弦长公式，代入，解得. 所以直线的斜率为. 18．（26-27高三上·山西长治·开学考试）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹方程； (2)若经过点的直线与点的轨迹相交于两点，，为坐标原点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，利用直线的斜率与直线的斜率的差是2列出方程化简即可； （2）设直线的方程为：，联立与的轨迹方程，根据韦达定理以及得到，从而得出，求出，最后利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）设，由， 则，其中， 由题意知：，化简得， 所以点的轨迹方程为：. （2）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为：， 联立，消去得：， 由， 所以设，所以，① 因为，所以即， 也即， 整理可得：， 将①代入上式，得，解得：， 所以 . 19．（2026·江西·一模）已知直线与抛物线交于两点，且. (1)求的准线方程； (2)若直线与抛物线和圆都相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，根据弦长公式求出即可； （2）设直线的方程为，根据点到直线的距离等于半径以及建立方程组求解. 【详解】（1）设，联立，得， 则，解得， 由韦达定理得， 则， 解得（负值舍去），所以的准线方程为； （2）由（1）得的方程为， 当直线的斜率为时，直线与抛物线相交，不符合题意； 当直线的斜率不存在时，若与抛物线相切，则，此时与圆相交，不符合题意； 故直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以，即， 联立，得， 则，得， 则，得， 则或， 所以直线的方程为或. 20．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知动圆经过点，且与直线相切，记圆的圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知过点的直线与交于A，B两点. （i）若，求的方程； （ii）证明：点在以AB为直径的圆外. 【答案】(1)； (2)（i）或； （ii）， 因为 ， 所以，则，故点在以AB为直径的圆外. 【分析】（1）根据抛物线的定义写出抛物线方程； （2）（i）设，联立抛物线并应用韦达定理和抛物线的定义及弦长列方程求参数值，即可得直线方程；（ii）由题设，应用向量数量积的坐标表示，代入韦达公式判断是否成立，即可证. 【详解】（1）动点到的距离等于到直线的距离， 则是焦点为，准线为的抛物线， 所以的方程为. （2）由题意知的斜率不为0，设， 由，得，则，    （i）由 ，得， 所以，即的方程为或. （ii）略 考点六　抛物线的中点弦及点差法 21．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义，得到动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，进而求得抛物线的标准方程； （2）根据题意，利用“点差法”求得所求直线的斜率，进而得到所求直线方程. 【详解】（1）由题意知，动点到直线的距离与到点距离相等， 根据抛物线的定义，可得动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 可得，解得，所以曲线的方程为. （2）设，可得， 两式相减得， 线段的中点坐标为，可得在抛物线内部， 所以，可得， 又由，可得， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 22．（25-26高二上·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用点差法，设出和两点坐标代入抛物线方程作差，结合中点坐标求出直线斜率，再用点斜式得到直线方程. 【详解】设，，则，由：作差得， 得，所以直线方程为，即. 故选：C 23．（2026·山西临汾·二模）已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线与相交于A，B两点，且点为弦AB的中点，利用点差法求解. 【详解】解：设， 因为直线与相交于A，B两点，所以， 由题意得， 故选：D 24．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点. (1)若线段的中点为，求； (2)若分别在第一象限和第四象限，且恒有（为坐标原点），证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) 由题可知的倾斜角不为0，设直线， 由消去，得 则， 解得或． 当时，在轴的同一侧，不符合条件． 当时，直线经过定点． 【分析】（1）根据点差法，结合斜率公式即可求解直线的斜率，进而可判断直线过焦点，由焦点弦公式即可求解， （2）联立直线与抛物线方程，得韦达定理，根据向量的数量积运算即可求解. 【详解】（1）由题意知，解得， 所以的方程为． 由题易知直线的斜率存在．设，则可得． 因为线段的中点为，所以， 所以，则的方程为，显然过点， 所以．    （2）略 考点七　抛物线中的定点定值最值问题 25．（26-27高三·全国·一轮复习）已知直线与抛物线相交于A，B两点，且． (1)求证：直线AB必过一定点； (2)求面积的最小值． 【答案】(1)证明：设直线AB方程：，，， 由消去x并整理得， ∴，，由得 解得或（舍去）．∴直线AB过定点． (2)4 【分析】（1）设直线AB方程：，与抛物线的方程联立，根据韦达定理，由垂直的向量表示，可得关于的方程，求解可得的值，从而得到直线所过定点； （2）由（1）可得面积， 根据韦达定理，并结合二次函数的最值求法可得面积的最小值． 【详解】（1）略 （2）由（1）得， ∴当时，的面积取得最小值为4． 26．（25-26高二下·广西柳州·期末）已知抛物线的焦点为，过点作直线交于，两点，为坐标原点． (1)求抛物线的方程； (2)若为直角三角形，求直线的斜率； (3)点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交轴于点，探究是否为定值？ 【答案】(1)； (2)或； (3)是定值1,理由如下： 由（2）可知， 且，， 又因为， 所以直线的方程为， 令，得 ， 即， 所以， 所以是定值1.    【分析】（1）由题意可得，求出的值即可得答案； （2）设的方程为，与抛物线方程联立，分、及分别求解； （3）由题意可求得，，利用点斜式求出直线的方程，进而可得点的坐标，代入化简即可得答案. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以抛物线的方程为； （2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，设为， 所以的方程为， 由，得， 其中， 解得， 设, 由韦达定理可得：， 所以， 又因为为直角三角形， 当时，则有, 即， 即， 所以， 解得， 所以， 又因为在抛物线上， 所以， 整理得, 即， 解得； 同理当时，解得； 当时，所以,即， 所以， 解得，满足， 所以； 综上，或； （3）略； 27．（25-26高二上·山西太原·期末）已知抛物线，直线与相交于、两个不同点，在轴左侧，且． (1)求抛物线的方程； (2)过抛物线焦点的直线与相交于、两个不同点（异于、两点），在轴左侧． ①若直线的斜率为，求的值； ②设直线与相交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)①； ②如下图所示： 易知点、，设点、， 设直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，故， 因为与点不重合，故，即，同理可得， ，故直线的方程为①， 同理可知直线的方程为②， 由①②可得，即， 将代入上式得，解得， 故，解得，故点在定直线上. 【分析】（1）根据题意得出点的坐标，将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）①设点、，可知，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出、的值，再利用抛物线的焦半径公式可求得的值； ②设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理得出，求出直线、的方程，将这两直线的方程联立，求出点的坐标，即可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，点、关于轴对称， 又因为，且在轴左侧，则， 将点的坐标代入抛物线的方程得，解得， 故抛物线的标准方程为. （2）①设点、，易知抛物线的焦点为， 因为直线的斜率为，故直线的方程为， 又因为在轴左侧，结合图形可知， 联立，消去可得，解得，， 故； ②略 28．（2026高三上·全国·专题练习）如图，抛物线的准线l与x轴交于椭圆的右焦点，为的左焦点，离心率为，抛物线与椭圆交于x轴上方一点P，连接并延长交于点Q，M为上一动点，且在P，Q之间移动，若的边长恰好是三个连续的自然数，求的面积的最大值． 【答案】 【分析】根据椭圆离心率和抛物线准线l过椭圆右焦点，求得a，b，c，m的关系，联立抛物线与椭圆的方程可求得点P的坐标，进而用m表示出三边长度，根据的边长恰好是三个连续的自然数可求出的值，进而可求直线和抛物线的方程，联立可解点的坐标，设出点的坐标，表示出点到直线的距离，进而可表示的面积，进而可求其最大值. 【详解】因为椭圆离心率，所以，即， 抛物线的准线， 因为准线l与x轴交于椭圆的右焦点， 所以，，， 即，，， 联立抛物线与椭圆的方程得：， 消去得：，解得或， 因为抛物线与椭圆交于x轴上方一点P，所以， 所以， ， 因为的边长恰好是三个连续的自然数， 所以，解得， 此时，，，， 所以，，，， 直线的方程为：，和抛物线方程联立得： ，消去得：， 解得，（舍去）或，所以点， ， 因为M为上一动点，所以设，， 点到直线的距离为： ， 所以当时，取最大值为， 此时，面积最大，最大值为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 抛物线的简单几何性质高频考点精讲 1.四种抛物线的几何性质 标准方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 2.焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为. 1、抛物线，. 2、抛物线，. 3、抛物线，. 4、抛物线，. 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式. 3.直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）. 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有一个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. 4.直线与抛物线相交弦长问题 1、一般弦长 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为. （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）. （2）, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得.故，即. （3）直线的方程为. 2、焦点弦长 如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）. （4）若直线的倾斜角为，则. （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. （6）为定值. 考点一　判断抛物线的开口方向与大小 考点二　由抛物线的几何性质求标准方程 考点三　直线与抛物线的位置关系判断 考点四　抛物线中焦半径的问题 考点五　直线与抛物线相交弦长问题 考点六　抛物线的中点弦及点差法 考点七　抛物线中的定点定值最值问题 考点一　判断抛物线的开口方向与大小 1．（25-26高二上·宁夏固原·期末）（多选）对于抛物线，下列说法正确的是（    ）. A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程是 2．（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）（多选）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 3．（2026·湖北·二模）在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二·全国·随堂练习）在同一坐标系中画出下列抛物线： （1）             （2）；             （3）． 再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数之间的关系． 考点二　由抛物线的几何性质求标准方程 5．（25-26高二上·福建福州·期末）已知抛物线的焦点为F，过F作倾斜角为的直线l交抛物线C与A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为，则抛物线C的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）已知为抛物线的焦点，过作垂直轴的直线交抛物线于、两点，以为直径的圆交轴于，两点，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线上且（0为坐标原点），过点M且与抛物线相切的直线与y轴相交于点N，若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2026高三·全国·专题练习）抛物线焦点，过上一点作直线垂直准线于点，恰好为等腰直角三角形，其面积为，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 考点三　直线与抛物线的位置关系判断 9．（2027高三·全国·专题练习）已知抛物线，过点作直线，使与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 10．（25-26高二下·上海·期中）过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有______条. 11．（26-27高二上·全国·课后作业）若直线与曲线恰好有一个公共点，则实数的取值集合为________． 12．（25-26高二上·广东广州·期末）（多选）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．线段的长度为10 C．抛物线上恰有三个点，使得为等腰三角形 D．抛物线上恰有三个点到直线的距离为 考点四　抛物线中焦半径的问题 13．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）过抛物线E：的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，．若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（26-27高二上·重庆·期末）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，若，的面积为，则（   ） A．2 B． C． D． 15．（25-26高二上·四川自贡·期末）（多选）在平面直角坐标系中，过抛物线焦点F的直线与C相交于两点，过点A作抛物线C的切线PA，下列说法正确的是（    ） A．直线OA与OB的斜率之积为定值 B．当最小时，切线PA与x轴交点为 C．当时， D．的取值范围是 16．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）（多选）如图，抛物线的焦点为，过点的直线与在第一象限内交于两点，，延长交于点，为坐标原点，则（    ） A． B．直线的斜率为 C． D． 考点五　直线与抛物线相交弦长问题 17．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知抛物线，若两点在抛物线上，焦点为，，则直线的斜率为__________． 18．（26-27高三上·山西长治·开学考试）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹方程； (2)若经过点的直线与点的轨迹相交于两点，，为坐标原点，求线段的长． 19．（2026·江西·一模）已知直线与抛物线交于两点，且. (1)求的准线方程； (2)若直线与抛物线和圆都相切，求直线的方程. 20．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知动圆经过点，且与直线相切，记圆的圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知过点的直线与交于A，B两点. （i）若，求的方程； （ii）证明：点在以AB为直径的圆外. 考点六　抛物线的中点弦及点差法 21．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 22．（25-26高二上·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 23．（2026·山西临汾·二模）已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点. (1)若线段的中点为，求； (2)若分别在第一象限和第四象限，且恒有（为坐标原点），证明：直线过定点. 考点七　抛物线中的定点定值最值问题 25．（26-27高三·全国·一轮复习）已知直线与抛物线相交于A，B两点，且． (1)求证：直线AB必过一定点； (2)求面积的最小值． 26．（25-26高二下·广西柳州·期末）已知抛物线的焦点为，过点作直线交于，两点，为坐标原点． (1)求抛物线的方程； (2)若为直角三角形，求直线的斜率； (3)点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交轴于点，探究是否为定值？ 27．（25-26高二上·山西太原·期末）已知抛物线，直线与相交于、两个不同点，在轴左侧，且． (1)求抛物线的方程； (2)过抛物线焦点的直线与相交于、两个不同点（异于、两点），在轴左侧． ①若直线的斜率为，求的值； ②设直线与相交于点，证明：点在定直线上． 28．（2026高三上·全国·专题练习）如图，抛物线的准线l与x轴交于椭圆的右焦点，为的左焦点，离心率为，抛物线与椭圆交于x轴上方一点P，连接并延长交于点Q，M为上一动点，且在P，Q之间移动，若的边长恰好是三个连续的自然数，求的面积的最大值． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $