精品解析：湖南省长沙市第一中学2024届高三下学期月考（八）数学试题

大联考长沙市一中2024届高三月考试卷（八） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，．若，则 (　 　) A. B. C. D. 2. 已知等边的边长为2，点D，E分别为，的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题 ①：若复数z满足，则；②：若复数z满足，则； ③：若复数，满足，则；④：若复数，则． 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ③④ 4. 已知在各项均为正数等差数列中，有连续四项依次为m，a，4m，b，则等于（ ） A. B. C. D. 4 5. 学校计划于4月份其中一周的周一至周五这五天内组织高一、高二、高三年级的同学进行春季研学活动，每天只能有一个年级参加，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的安排方案有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 30种 D. 32种 6. 设，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆C：的离心率为，点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，D是直线上的一动点．与C交于点P（P在x轴的上方），过A作的垂线交的延长线于点E，当取最大值时，点D的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某简单组合体由圆柱与一个半球黏合而成，已知圆柱底面半径为2，高为4，A是圆柱下底面圆周上的一个定点，P是半球面上的一个动点，且，则点P的轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 为分析甲班学生某次数学调研测试情况，采用男生、女生分层随机抽样的方法，该样本中男生的成绩为，，，，，女生的成绩为，，，，，下列说法正确的是（ ） A. 若样本中男、女生两组成绩的平均数都为a，则样本的平均数等于a B. 若样本中男、女生两组成绩的中位数都为b，则样本的中位数等于b C. 若样本中男、女生两组成绩第40百分位数都为c，则样本的第40百分位数可能大于c D. 若样本中男、女生两组成绩的方差都为d，则样本的方差一定不小于d 10. 已知函数，则下列结论正确是（ ） A. 函数的图像关于原点对称 B. 函数在上单调递增 C. 函数在上的值域为 D. 函数在上有且仅有3个零点 11. 已知函数，若恒成立，则，的可能取值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为______． 13. 设抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线交于A，B两点，与y轴的负半轴交于C点，已知，则______． 14. 数列中，，．设是函数（且）的极值点．若表示不超过x的最大整数，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求角C大小； （2）设D为边AB的中点，求的最大值． 16. 如图，在平行六面体中，，． （1）若空间有一点P满足：，求点P到直线BD的距离； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值． 17. 为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子竞价确定购买资格”的售卖方式：统一以0元为初始竞价，通过掷骰子确定新竞价，若点数大于2，则在上一次竞价基础上增加1元更新竞价，若点数小于3，则在上一次竞价基础上增加2元更新竞价；重复上述过程，直到竞价到达20元，即获得以20元为价格的购买资格，未出现竞价为20元的情况则失去购买资格，并结束竞价．若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，准备竞买． （1）求甲同学竞价为2元的概率； （2）试估计甲同学获得该笔记本购买资格的概率（精确到0.01）． 18. 已知双曲线C：经过点，且离心率为．直线l经过双曲线的右焦点F，与双曲线的右支交于异于T点的A，B两点． （1）求双曲线C的标准方程； （2）若直线与直线的倾斜角互补，求直线l的方程； （3）求符合