江苏省扬州中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

江苏省扬州中学2023-2024学年度第二学期期中试题 高一数学 2024.04 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数，其中为虚数单位，则在复平面对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（    ） A． B． C． D． 3．已知中内角、、的对边分别是、、，，，，（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，向量在向量方向上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，中，点D是线段的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 6．函数的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 7. 已知，则（ ） A． B． C． D． 8. 若的角所对边，且满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列命题为真命题的是（    ） A．若复数，则 B．若i为虚数单位，n为正整数，则 C．若复数满足，则 D．若，其中为虚数单位，a，b为实数，则a=1，b=1 10．若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则与同向的单位向量为 C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D．若，则的最小值为 11. 在扇形中，，点在弧上运动且不与点重合，于点，与点，则（ ） A.的长为定值 B.的大小为定值 C.面积的最大值为 D.四边形的面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知,且，则 . 13．已知，，则 . 14. 已知为的内心，，且满足，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 复数，其中为虚数单位，为实数． (1)若复数为实数，求的值； (2)若复数为纯虚数，求的值． 16．（15分） 已知，且， (1)求的值： (2)求与的夹角. 17．（15分） 在中，角所对的边, 满足且. (1)若，求的面积； (2)求的值. 18．（17分） 某商场准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界的距离分别为.设计者准备过点R修建一条长椅（点M，N分别落在上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息. (1)求点S到点T的距离； (2)求点P到点R的距离； (3)为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值. 19. （17分） 已知函数. （1）当时，求的值域； （2）当时，设，求证：函数有且只有一个零点； （3）当时，若实数使得对任意实数恒成立，求的值. 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 江苏省扬州中学2023-2024学年度第二学期期中试题 参考答案： 一、选择题 1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．C 7. D 8. B 二、选择题 9．AD 10．BCD 11. ABC 三、填空题 12． 13． 14. 四、解答题 15．（1）由复数为实数，得， 解得或. （2）由复数为纯虚数，得，解得. 16．（1）因为， 所以，. （2）由已知可得，， 所以. 又， 所以，. 又， 所以. 16．（1）由，解得， 由.， ， . （2）因为，由正弦定理可得， ， 18．（1）连接，在四边形中， 因为，，，所以. 在中，由余弦定理可得， 所以（m）. （2）方法一：因为且, 所以四点共圆， 所以 方法二：在中，由余弦定理可得. 则， 在中，由正弦定理可得， 解得. 在中，由勾股定理得， 所以（m）. （3）因为， ， 所以，所以， 当且仅当时等号成立，因此，. 所以当时，三角形区域面积最小，最小值为. 19. （1）令，则， ，故值域为 （2），， 当时，单调递增，，所以在有唯一零点； 当时，，所以无零点； 当时，，所以无零点. 综上：有且只有一个零点. （3）当时，， 于是即为， 所以，对任意意实数恒成立，所以 若，由（1）不满足（3），故，由（2），故或， 当时，，则（1）、（3）矛盾，故，则