江苏省扬州中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

江苏省扬州中学2023-2024学年第二学期期中试题 高二数学 2024.04 试卷满分:150分，考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 . 在空间四边形中，化简（    ） A． B． C． D． 2 . 展开式中，只有第9项的二项式系数最大，则n的值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 3 . 某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E共5名成员组成，现从这5名成员中随机抽选3名参加学校决赛，则在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（　　） A． B． C． D． 4 . 在正方体中，E为BD的中点，则直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 5 . 将5名志愿者分配到3个不同的社区协助开展活动，每个社区至少分配1名志愿者，并且每位志愿者都参与该活动，则不同的分配方法数为（   ） A．150 B．180 C．240 D．300 6 . 某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有（    ） A．144种 B．72种 C．36种 D．24种 7 . 定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：．已知： ，满足，则p可以是（    ） A．26 B．31 C．32 D．37 8 . 若函数，在上单调递增，则和的可能取值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 . 下列有关排列数、组合数的等式中，其中，正确的是（ ） A． B． C．（） D． 10 . 下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ） A．若，则的夹角是锐角 B．若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C， D四点共面 C．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的 角等于 D．若向量，（，，都是不共线的非零向量）则称在基底 下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底 下的坐标为 11 . 如图，在边长为1的正方体中，是的中点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（    ） A．当点与点重合时，直线平面 B．当点移动时，点到平面的距离为定值 C．当点与点重合时，平面与平面夹 角的正弦值为 D．当点为线段中点时，平面截正方体 所得截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12 . 若已知，则的值为 （用数字作答）． 13 . 如图所示线路图，机器人从A地经B地走到C地，最近的走法共有 种．（用数字作答） 14 . 在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则= ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15 . （13分） 已知空间三点、、. (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求以、为邻边的平行四边形的面积． 16 . （15分） (1)二项式展开式中所有二项式系数和为64，求其二项展开式中的系数； (2)已知，求的值． 17 . （15分） 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为福清人喜爱的交通工具.据预测，福清某新能源汽车4S店从2023年1月份起的前x个月，顾客对比亚迪汽车的总需量（单位：辆）与x的关系会近似地满足（其中且），该款汽车第x月的进货单价（单位：元）与x的近似关系是. (1)由前x个月的总需量，求出第x月的需求量（单位：辆）与x的函数关系式； (2)该款汽车每辆的售价为185000元，若不计其他费用，则这个汽车4S店在2023年的第几个月的月利润最大，最大月利润为多少元？ 18 . （17分） 如图，在多面体中，四边形是正方形，，，M是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若平面，，，点P为线段上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 19 . （17分） 意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，