浙江省三锋教研联盟2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

绝密★考试结束前 2023学年第二学期宁波三锋教研联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，角所对边分别为，且，（ ） A. B. 或 C. D. 或 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 已知是非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列结论正确的是（ ） A. 若直线不平行于平面，且，那么内存在一条直线与平行 B. 已知平面和直线，则内至少有一条直线与垂直 C. 如果两个平面相交，则它们有有限个公共点 D. 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 5. 已知的内角所对的边分别为，面积为，若，，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形 6. 正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，侧棱长为，则其体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知扇形的半径为13，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，弧的中点为，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四面体各个面都是边长为2的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，则圆柱的体积是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 空间三点可以唯一确定一个平面 B. 为两个不同的平面，直线，则“”是“”必要不充分条件 C 如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 D. 长方体是直平行六面体 10. 已知是夹角为的单位向量，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量为 11. 正方体的棱长为1，分别为的中点，则（ ） A 直线与平面平行 B C. 过的平面截此正方体所得的截面可能不是四边形 D. 过的平面截此正方体所得的截面的面积范围是 12. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题正确的有（ ） A. 若，则为重心 B. 若为的内心，则 C. 若为的外心，则 D. 若为的垂心，，则 非选择题部分 三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分． 13. 已知一个球的半径是，则它的表面积是_____． 14. 如图，甲乙两人做游戏，甲在处发现乙在北偏东方向，相距6百米处，乙正以每分钟5百米的速度沿南偏东方向前进，甲立即以每分钟7百米的速度，沿北偏东方向追赶乙，则甲追赶上乙最少需要_________分钟． 15. 四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则_________ 16. 已知中，，，若在平面内一点满足，则的最大值为_________ 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 设是不共线的两个非零向量． （1）若，求证：三点共线； （2）若与平行，求实数的值． 18. 记的内角的对边分别为，面积为，且． （1）求的外接圆的半径； （2）若，且边上的高，求角． 19. 如图，在几何体中，四边形为直角梯形，，平面平面 （1）证明：平面 （2）证明： 20. 在中，角所对的边分别为，且满足 （1）求角的值； （2）若且，求的取值范围． 21. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，是边长为1的正三角形，且分别是棱上的动点，为中点． （1）若为中点，证明：∥面 （2）求的最小值 22. 在锐角中，记的内角的对边分别为，，点为的所在平面内一点，且满足． （1）若，求的值； （2）在（1）条件下，求的最小值； （3）若，求的取值范围． 绝密★考试结束前 2023学年第二学期宁波三锋教研联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．