3.4复数的三角表示课时作业-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

课时作业(二十六)　*复数的三角表示 [练基础] 1．下列复数是三角形式的是(　　) A．2 B．2 C．－2 D．2 2．复数＋i化成三角形式，正确的是(　　) A．cos ＋isin B．cos ＋isin C．cos ＋isin D．cos ＋isin 3．将复数4化成代数形式，正确的是(　　) A．4 B．－4 C．4i D．－4i 4．2÷2(cos 60°＋isin 60°)＝(　　) A．＋i B．－i C．＋i D．－i 5．若复数z的模为2，其辐角为，则＝(　　) A．＋i　 B．－i C．1－i D．1＋i 6．棣莫弗公式(cos x＋i·sin x)n＝cos (nx)＋i·sin (nx)(其中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667～1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．复数－i的三角形式为________． 8．复数sin 1－icos 1的辐角主值是________． 9．如图，向量对应的复数为－1＋i，把绕点O按逆时针方向旋转150°，得到OZ1，求向量OZ1对应的复数(用代数形式表示). 10．设复数z＝(1－ i)5，求z的模和辐角的主值． [提能力] 11.(cos 30°＋isin 30°)×2(cos 60°＋isin 60°)×3(cos 45°＋isin 45°)＝(　　) A．＋i B．－i C．－＋i D．－－i 12．复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是(　　) A．±i B．－±i C．±＋i D．±－i 13．复数z＝cos ＋isin 是方程x5－α＝0的一个根，那么α的值等于________． 14．已知复数z＝sin －icos ，若zn＝z(n∈N*，且n≠1)，则n的最小值为________． 15．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，且z1·z在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，且argz2∈(0，π)，求z2的代数形式． [培优生] 16．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(e为自然对数的底数，i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，阐述了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式： (1)判断复数e2i在复平面内对应的点位于第几象限，并说明理由； (2)若eix<0，求cos x的值． 课时作业(二十六)　*复数的三角表示 1．解析：复数的三角形式是r(cos θ＋isin θ)，其中r>0，A，B，C均不是这种形式，其中A选项，2中－isin 不满足； B选项，2中≠不满足； C选项，－2中－2<0，不满足． 答案：D 2．解析： 因为cos ＝，sin ＝， 所以＋i＝cos ＋isin . 答案：B 3．解析：4 ＝4[0＋i(－1)] ＝－4i. 答案：D 4．解析：2÷2(cos 60°＋isin 60°)＝2(cos 0°＋isin 0°)÷2(cos 60°＋isin 60°) ＝cos (0°－60°)＋isin (0°－60°) ＝cos (－60°)＋isin (－60°)＝－i. 答案：B 5．解析：由已知可得z＝2＝－1＋i， 所以＝＝＝＋i. 答案：A 6．解析：由已知得＝cos ＋i·sin ＝－－i， ∴复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限． 答案：C 7．解析：因为z＝－i，所以z的三角形式可以写作z＝cos ＋isin . 答案：cos ＋isin 8．解析：由cos ＝sin 1，sin ＝－cos 1， 得sin 1－icos 1＝cos ＋isin ， 因此复数sin 1－icos 1的辐角主值为1＋. 答案：1＋ 9．解析：向量OZ1对应的复数为 (－1＋i)(cos 150°＋isin 150°)＝(－1＋i)＝－i. 10．解析：∵(1－i)5＝25＝32＝32＝32， ∴复数z的模为32，辐角的主值为. 11．解析：(cos 30°＋isin 30°)×2(cos 60°＋isin 60°)×3(cos 45°＋isin 45°) ＝×2×3[cos (30°＋60°＋45°)＋isin (30°＋60°＋45°)] ＝3(cos 135°＋isin 135°) ＝3 ＝－＋i. 答案：C 12．解析：－i＝cos ＋isin －i的立方根为cos ＋isin (其中k＝0，1，2) 当k＝0时，得cos ＋isin ＝i； 当k＝1时，得co