3.4 课时1 复数的三角表示 课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第3章 复数 3.4 复数的三角表示 1 课时1 复数的三角表示 2 1.了解 的几何意义.（数学抽象） 2.了解 乘复数 的几何意义.（数学抽象） 学习目标 3 1. 乘复数 的几何意义是什么？ [答案] 将复数在复平面内对应的向量旋转角 . 2.什么是复数的三角形式？ [答案] 叫作复数的三角形式，其中 , . 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）虚数单位乘任意复数的几何意义应是将复数在复平面内对应的向量旋转 . ( ) √ （2）的几何意义是将复数对应的平面向量旋转角 .( ) × （3） 是复数的三角形式.( ) × （4）复数 的模是1，辐角的主值是 .( ) √ 自主预习 5 2.复数 的辐角的主值是( ) . B A. B. C. D. [解析] 因为复数 ，所以该复数的辐角的主值 是 .故选B. 自主预习 6 3.复数 的三角形式为( ) . C A. B. C. D. [解析] 复数在复平面内所对应的点为 ，位于第二象限， 则，，所以，即 . 所以 .故选C. 自主预习 7 4.将复数 化为代数形式为______. [解析] . 自主预习 8 探究1 的几何意义 问题1： 设平面向量对应复数，则 对应的复数是什么？ [答案] 对应的复数为 . 合作探究 9 问题2： 设复数 对应的向量在第一象限，画出问题1中的图形. [答案] &1& 合作探究 10 新知生成 复数乘法的几何意义 1.乘复数的几何意义是将复数对应的平面向量绕起点旋转 变成 . 2.虚数乘任意复数的几何意义是将复数对应的平面向量绕原点逆时针旋转 . 合作探究 11 新知运用 例1 复数，， 的几何意义分别是什么？ 方法指导 根据复数乘法的几何意义求解. [解析] 的几何意义是将向量（是复数 在复平面内对应的点）绕原点逆时 针旋转 ， 的几何意义是将向量（是复数在复平面内对应的点）绕原点旋转 ， 的几何意义是将向量（是复数 在复平面内对应的点）绕原点顺时针旋 转 . 合作探究 12 &2& 复数乘法几何意义解决问题，要注意旋转量和旋转方向. 合作探究 13 将复数对应的向量按顺时针方向旋转 ，求所得向量对应的复数. [解析] 复数对应的点为，将向量按顺时针方向旋转 ，所得复数为 . 合作探究 14 探究2 旋转任意角 如图，把复数对应的向量旋转角 得到，把 旋 转 得到 . 问题1： 如何用,表示出 ？ [答案] . 问题2： 在复平面内对应的复数为，在复平面内对应的复数是什么？ 在复 平面内对应的复数是什么？ [答案] 对应的复数为,对应的复数为 . 合作探究 15 新知生成 用 乘任意复数，其几何意义是将复数对应的平面向量旋转角 . 合作探究 16 新知运用 例2 根据 乘任意复数 的几何意义计算： （1）；（2） . [解析] （1）设 ，则用 乘任意复数，其几何意义是将 对应 的向量旋转 .于是，用乘的几何意义是将对应的向量连续旋转两个 ，也就 是将对应的向量旋转 .又由虚数单位乘任意复数的几何意义可知， ，即 . （2）设 ，则用 乘任意复数，其几何意义是将 对应的向 量旋转 .同理可得，用乘任意复数就是将对应的向量连续旋转三个 ，其 结果就是将对应的向量旋转 后回到原处，所以 . 合作探究 17 &3& 解决此类问题要明确旋转角的几何意义，准确计算. 合作探究 18 复数对应的平面向量逆时针旋转 所得向量所对应的复数是_ ____________. [解析] . 合作探究 19 探究3 复数的三角表示 我们知道 ，而复数的代数形式 ，由此联想 的三角表示式. 问题1： 你能类比上述三角变换，推出复数的三角形式吗？ [答案] 能. ， 令 ， ，，则 . 合作探究 20 问题2： 若角 的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，已知终边上一点 ， 如何表示角 的三角函数？ [答案] 设，则,, . 合作探究 21 新知生成 1.定义：叫作复数 的三角表示式，简称三角 形式，即，其中， 为复数 的辐角. 2.我们将称为复数的三角形式.如果 ，则 ，辐角 可以取任意值，对每个值仍有 .因 此，两个复数, 相 等的充要条件是,或且 , . 合作探究 22 新知运用 例3 把下列复数的代数形式化成三角形式： （1）；（2） . 合作探究