3.4课时1复数的三角表示学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

3.4 课时1 复数的三角表示 【学习目标】 1.了解i2=-1的几何意义.(数学抽象) 2.了解cos α+isin α乘复数z的几何意义.(数学抽象) 【自主预习】 1.cos α+isin α乘复数z的几何意义是什么? 2.什么是复数的三角形式? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)虚数单位i乘任意复数z的几何意义应是将复数z在复平面内对应的向量旋转90°. (　　) (2)cos +isin z的几何意义是将复数z对应的平面向量旋转角. (　　) (3)z=-2(cos θ+isin θ)是复数的三角形式. (　　) (4)复数z=cos π+isin π的模是1,辐角的主值是π. (　　) 2.复数sin 40°-icos 40°的辐角的主值是(　　). A.-40° B.310° C.50° D.130° 3.复数z=-+i的三角形式为(　　). A.2cos +isin B.2cos -isin C.2cos +isin D.2cos +isin 4.将复数z=cos-+isin-化为代数形式为　　　　.  【合作探究】 探究1　i2=-1的几何意义 问题1:设平面向量=(x,y)对应复数z=x+yi,则=(-x,-y)对应的复数是什么? 问题2:设复数z对应的向量在第一象限,画出问题1中的图形. 新知生成 复数乘法的几何意义 1.-1乘复数z的几何意义是将复数z对应的平面向量绕起点旋转180°变成. 2.虚数i乘任意复数z的几何意义是将复数z对应的平面向量绕原点逆时针旋转90°. 新知运用 例1　复数i·z1,-z1,(-i)·z1的几何意义分别是什么? 方法指导　根据复数乘法的几何意义求解. 【方法总结】　　复数乘法几何意义解决问题,要注意旋转量和旋转方向. 将复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转90°,求所得向量对应的复数. 探究2　旋转任意角 如图,把复数z对应的向量旋转角α得到',把旋转90°得到. 问题1:如何用,表示出? 问题2:在复平面内对应的复数为z,在复平面内对应的复数是什么?在复平面内对应的复数是什么? 新知生成 用cos α+isin α乘任意复数z,其几何意义是将复数z对应的平面向量旋转角α. 新知运用 例2　根据cos α+isin α乘任意复数z的几何意义计算: (1)(cos 45°+isin 45°)2;(2)(cos 120°+isin 120°)3. 【方法总结】　　解决此类问题要明确旋转角的几何意义,准确计算. 复数1+2i对应的平面向量逆时针旋转30°所得向量所对应的复数是　　　　　.  探究3　复数的三角表示 我们知道asin x+bcos x=sin(x+φ),而复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R),由此联想z的三角表示式. 问题1:你能类比上述三角变换,推出复数的三角形式吗? 问题2:若角θ的顶点在坐标原点,始边在x轴非负半轴上,已知终边上一点P(x,y),如何表示角θ的三角函数? 新知生成 1.定义:r(cos θ+isin θ)叫作复数z=a+bi的三角表示式,简称三角形式,即z=r(cos θ+isin θ),其中|z|=r,θ为复数z的辐角. 2.我们将r(cos θ+isin θ)称为复数a+bi的三角形式.如果z=0,则|z|=0,辐角θ可以取任意值,对每个值仍有z=r(cos θ+isin θ).因此,两个复数z1=|z1|(cos θ1+isin θ1),z2=|z2|(cos θ2+isin θ2)相等的充要条件是|z1|=|z2|=0,或|z1|=|z2|>0且θ2=θ1+2kπ,k∈Z. 新知运用 例3　把下列复数的代数形式化成三角形式: (1)+i;(2)1-i. 【方法总结】　　复数的代数形式化三角形式的步骤:(1)先求复数的模;(2)确定辐角所在的象限;(3)根据象限求出辐角;(4)求出复数的三角形式. 下列复数是不是复数的三角形式?如果不是,把它们表示成三角形式. (1); (2)-; (3); (4)cos+isin; (5). 【随堂检测】 1.cos-+isin-3=(　　). A.-1 B.1 C.i D.-i 2.下列复数中已用三角形式表示的是(　　). A.2(cos α-isin α) B.2(sin α+icos α) C.-2(cos α+isin α) D.2[cos(-α)+isin(-α)] 3.复数1+i的三角形式为　　　　.  4.设复数z满足z-3的辐角的主值为,z+1的模为,求复数z. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4 课时1 复