专题03 平面向量与复数（六大考点）-【查漏补缺】2024年高考数学复习冲刺过关（天津专用）

重难点03 平面向量与复数 考点一 平面向量的概念及线性运算 考点二 平面向量基本定理及坐标表示 考点三 平面向量的数量积 考点四 平面向量的综合应用 考点五 复数的运算 考点六 复数的几何意义 考点一：平面向量 一、平面向量的线性运算 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的模(或长度)． (2)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (3)单位向量：模等于1的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行． (5)相等的向量：大小相等且方向相同的向量． (6)相反向量：大小相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量基本定理 如果a≠0，且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. 2、 平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.平面内不共线的两个向量a与b组成该平面上向量的一组基底，记为{a，b}． 2．平面向量的正交分解 如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解． 3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 三、平面向量的数量积 1.向量的夹角 给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉. 2.平面向量的数量积 一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|·cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. 3.平面向量数量积的几何意义 (1)设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′(如图)，则称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影. (2)给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影，如图，向量a在向量b上的投影为.一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，它们的方向既有可能相同，也有可能相反. (3)一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|·cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量，投影的数量与投影的长度有关，投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.a·b等于a在b上的投影的数量与b的模的乘积，即a·b＝(|a|cos〈a，b〉)|b|.特别地a·e＝|a|cos〈a，e〉，其中e为单位向量. 4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 5．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 题型1 平面向量的概念及线性运算 1．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则（    ）. A． B． C． D． 2．（23-24高三上·天津·期中）已知在所在平面内，，、分别为线段、的中点，直线与相交于点，若，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 3．（22-23高一下·天津和平·期末）蜜蜂的巢房是令人惊叹