专题特训二 构造三角函数模型解决实际问题-【拔尖特训】2023-2024学年九年级下册数学（北师大版）

　　　　专题特训二　构造三角函数模型解决实际问题 ▶ “答案与解析”见P8 类型一 构造单直角三角形 1. (2023·丽水)如图,某工厂为了提升生产过 程中所产生废气的净化效率,需在气体净化 设备上增加一条管道A􀆼D􀆼C,已知DC⊥BC, AB⊥BC,∠A=60°,AB=11m,CD=4m, 求管道A􀆼D􀆼C 的总长. (第1题) 类型二 构造“背靠背型”共边双直角三角形 模型示例:如图. 若三角形中有已知角,通过在三角形内作高CD,构 造有公共直角边的两个直角三角形进行求解. 等量关系:CD 为公共边,AD+DB=AB. 模型演变: 2. (2022·威海)小军同学想利用所学的“锐角 三角函数”知识来测量一段两岸平行的河流 的宽度.他先在河岸设立A,B 两个观测点, 然后选定对岸河边的一棵树记为点M.测得 AB=50m,∠MAB=22°,∠MBA=67°.请 你依据所测数据求出这段河流的宽度 结果 精确到0.1m,参考数据:sin22°≈38 ,cos22°≈ 15 16 ,tan22°≈25 ,sin67°≈1213 ,cos67°≈513 , tan67°≈125 . (第2题) 类型三 构造“母子型”双直角三角形 模型示例:如图. 若三角形中有已知角,通过在三角形外作高BC,构 造有公共直角的两个直角三角形进行求解. 等量关系:BC 为公共边,AD+DC=AC. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 第一章　直角三角形的边角关系 模型演变一:有公共锐角顶点,有公共部分. 模型演变二:无公共锐角顶点,有公共部分. 模型演变三:无公共部分. 3. 如图,一架无人机沿水平直线飞行进行测绘 工作,在点P 处测得正前方水平地面上某建 筑物AB 的顶端点A 的俯角为30°,面向AB 方向继续飞行5米到达点Q 处,测得该建筑 物的底端点B 的俯角为45°.已知建筑物AB 的高为3米,求无人机飞行的高度(结果精确 到1米,参考数据:2≈1.414,3≈1.732). (第3题) 答案讲解 4. (2022·宜宾)宜宾东楼始建于唐 代,重建于宜宾建城2200年之际的 2018年,新建成的东楼(如图①)成 为旅游休闲目的地、文化地标打卡地.某数学 小组为测量东楼的高度,在楼梯点A 处(如 图②)测得楼顶点D 的仰角为45°,沿坡度为 7 24 的斜坡AB 前行25米到达平台点B 处, 测得楼顶点D 的仰角为60°,求东楼的高度 DE(结果精确到1米,参考数据:3≈1.7, 2≈1.4). (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 数学(北师版)九年级下 tanα=AEDE= 7 9 , ∴ x x+5= 7 9 ,解得x=17.5. ∴ AE=17.5m. ∵ EB=1.5m, ∴ AB=AE+EB=17.5+1.5= 19(m). ∴ 建筑物AB 的高度为19m. 3. A 4. 51 [解析]∵ ∠ACE =90°, ∠CAE =34°,CE =55m,∴ 在 Rt△ACE 中,AC = CEtan∠CAE ≈ 82.1m.∵ AB=21m,∴ BC=AC- AB=82.1-21=61.1(m).∵ 在 Rt△BCD 中, ∠DBC = 60°, ∴ tan∠DBC=CDBC= 3.∴ CD= 3BC≈1.73×61.1≈105.7(m). ∴ DE=CD-EC=105.7-55≈ 51(m).∴ 炎帝塑像DE 的高度约为 51m. 5. (1) β=90°-α. (2) 设AD=xm. ∵ ∠ACD=45°,∠ADB=90°, ∴ 易得CD=AD=xm. ∵ BC=20m, ∴ BD=(20