1.6 利用三角函数测高 课时训练 2025--2026学年北师大版九年级数学下册

1.6 利用三角函数测高 一、选择题 1. 无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向. 如图,在高速公路上,交警在 处操控无人机巡查,无人机从点 处飞行到点 处悬停,探测到它的正下方公路上点 处有汽车发生故障,测得点 处到点 处的距离为 ,从点 处观测点 处的仰角为 . 已知 ,则可求得点 处到点 处的距离约为 ( ) A. 105m B. C. D. 2. 2025 年 4 月 24 日，长征二号 遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射, 成功将陈冬、陈中瑞、王杰 3 名航天员搭载的神舟二十号载人飞船送入太空, 标志着中国空间站进入了稳定的常态化运营阶段. 如图,当火箭上升到点 时, 位于海平面 处的雷达测得点 到点 的距离为 千米,仰角为 ,此时火箭距海平面的高度 为( ) A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 3. 如图,一枚自制小火箭从发射点 处发射,身高为 1.6 米的小明在离发射点 距离 的 处,当小火箭到达 点时,小明测得此刻的仰角为 ,则这枚小火箭此时的高度 是( ) A. 6 B. C. D. 4. 南湖大桥是长春的重要桥梁, 某同学在校外实践活动中对此开展测量活动, 在桥外点 测得大桥主架与水面的交汇点 的俯角为 ,大桥主架的顶端 的仰角为 ,已知测量点与大桥主架的水平距离 ,则此时大桥主架顶端离水面的高 为( ) A. B. C. D. 5. 如图,某校数学兴趣小组在 处用仪器测得赛场一宣传气球顶部 处的仰角为 ,仪器与气球的水平距离 为 20 米,且距地面高度 为 1.5 米,则气球顶部离地面的高度 是( ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容: 题目 测量旗杆的高度 测量目标示意图 相关数据 米, 设旗杆的高度 米，根据以上条件，所列方程正确的是 ( ) A. B. C. D. 7. 为测量小河的宽度 ,小明在河两岸 测得大楼 楼顶 的仰角分别为 . 若大楼 的高为 ,则 的长可表示为( ) A. B. C. D. 8. 如图所示,河旁有一座小山,从山顶 处测得河对岸点 的俯角为 ,测得岸边点 的俯角为 在同一水平线上,又知河宽 为 ,则山高 是( ) A. B. C. D. 9. “十次事故九次快，超速行驶害三代！”，安全行驶警钟长鸣. 深圳交警在某次交通检查中, 使用无人机检测小车经过某隧道的平均速度. 无人机悬停在隧道的正上方, 高度为 84 米 (保持静止). 当汽车刚进入山洞时, 无人机测得俯角为 ; 当汽车完全离开山洞时，无人机测得俯角为 . 若汽车通过山洞的时间为 12 秒，则小车过山洞的平均速度为( )米/秒 A. B. C. D. 10. 如图, 在一次数学实践活动中, 张老师带领学生去测量学校新建的理化实验楼的高度,小凡从实验楼底部的点 处前行 到达斜坡 的底部点 处,然后沿着斜坡前行 到达最佳测量点 处,在点 处测得实验楼顶端点 的仰角为 ,已知斜坡与水平地面的夹角为 ,且点 在同一平面内,则该实验楼的高度为 . A. B. C. D. 17 二、填空题 11. 如图，在离铁塔 底部 30 米的 处，用测角仪从点 处测得塔顶 的仰角为 ，测角仪高 为 1.5 米，则铁塔的高 为_____米。 12. 如图，热气球探测器显示，从热气球 处测得一栋楼顶部 处的仰角是 ,测得这栋楼的底部 处的俯角是 ,热气球与这栋楼的水平距离是 36 米; 那么这栋楼的高度是_____米(精确到 0.01 米).(参考数据: , 13. 如图,为测量旗杆 的高度,在水平地面 的 处用测角仪测得旗杆顶端 的仰角为 ,在三楼窗台 处测得旗杆顶端 的仰角为 ,已知 , 则旗杆 的高度为_____ . 14. 如图,无人机于空中 处测得某建筑顶部 处的仰角为 ,测得该建筑底部 处的俯角为 . 若无人机的飞行高度 为 ，则该建筑的高度 为_____ m. (参考数据: ) 15. 在呼和浩特东郊开阔的平川上，一座灰白色的宝塔拔地凌空，直刺云天，大有“一柱擎天”之势，这便是驰名塞外的万部华严经塔，因其白色，所以俗称“白塔”. 某数学小组测量白塔的高度,如图,他们选取的测量点 与塔的底部 在同一水平线上. 已知塔顶为高 14 米的塔刹,在 处测得塔顶 的仰角为 , 塔刹底部 的仰角为 ，则塔 的高约为_____ .(结果精确到 . 参考数据: , 图1 图2 16. 如图,小明利用无人机测量教学楼的高度,无人机在点 处,测得小明所在位置 点的俯角为 ,测得教学楼顶 点的俯角为 ,教学楼底 点的俯角为 ，又经过人工测得 ， 两点间的距离为120米，则教学楼 的高度为_____ 米. (注: 点 在同一平面上,参考数据: , 结果取整数) 三、解答题 17. 为推进“美丽校园”建设，某校计划在两栋教学楼之间规划绿化区域. 如图， 甲、乙两栋楼相距 ，从甲楼 处看乙楼顶部 的仰角为 ， 到地面的距离为 ,求乙楼的高(结果精确到 ,参考数据: , ). 18. 某学校九年级数学实践活动小组, 计划采用无人机辅助的方法, 测量红山塔 的高度,无人机在距地面 的空中水平飞行,在点 处测得塔尖 的俯角为 ,到点 处测得塔尖 的俯角为 ,测得飞行距离 为 . 求出红山塔 的高度. (结果精确到 ,参考数据: , 19. 文昌阁位于长泰区武安镇石岗山上，始建于唐朝，是长泰的文化地标之一. 综合实践课上老师提出问题: “请你设计一个方案，测量文昌阁的高度”. 某小组设计的方案是利用激光投线角度仪和皮尺等工具对塔 的高度进行测量. 具体操作过程是: 在文昌阁底部正前方的平地上选取相距 10 米的 两个观测点. 在 点测得文昌阁顶部 的仰角为 ,在 点测得文昌阁顶部 的仰角为 . 求文昌阁的高度 (结果精确到 1 米, ). 20. 深中大桥 (如图 1) 是目前世界最大跨径全离岸海中钢箱梁悬索桥. 在学习完“利用三角函数测高”知识后，小商想测量出桥塔相对于桥面的高度，图 2 是其设计的测量示意图. 已知桥塔 垂直于桥面，测角仪 、 在 两侧，垂直于桥面， ，点 与点 相距 310 m (点 ， ， 在桥面所在直线上),在 处测得桥塔顶点 的仰角为 ,在 处测得桥塔顶点 的仰角为 . 求桥塔 的高度 (参考数据: ,结果精确到 1m). 图1 图2 21. “实验是获取真知的关键途径”. 如图，某校在实验楼上悬挂一块高为 6 米的标语牌 ,小明和小张准备在数学活动课上测标语牌的底部 到地面的距离 ,小明在点 处测得标语牌底部点 处的仰角 ,小张在点 处测 得标语牌顶部点 处的仰角 ，经测量， ，测角仪的支架高 ,已知 , , ,点 在同一条直线上,点 在同一条直线上,图中所有点均在同一平面内,求点 到地面的距离 . (参考数据: ) 22. 项目式学习 项目背景:悬空寺位于恒山金龙峡西侧翠屏峰的峭壁间，是北岳恒山十八景中最独特的一景, 号称恒山第一胜景, 如图①所示. 某校综合与实践小组围绕“测量悬空寺距离地面的高度”开展了项目学习, 形成了如下活动报告. 项目主题 测量悬空寺距离地面的高度 活动内容 利用三角函数等有关知识进行测量与计算 测量工具 测角仪、皮尺等 方案说明 如图②为测量方案示意图，选取悬空寺底部点 作为测量点，在水平地面上的点 处用测角仪(CD) 测量点 的仰角 ，在水平地面上的点 处用测角仪(EF)测量点 的仰角 ,最后测量 的距离. 图中各点都在同一竖直平面内. ① 测量数据 米, 米. 解决问题 ... 交流展示 ... 请根据上述数据，计算悬空寺底部点 距离地面的高度 . (结果保留整数,参考数据: ) 23. 九年级一班综合实践小组利用所学知识测量了某教学楼的高度 (如图), 测量过程与数据信息如下: ①小亮在点 处用测角仪(高度忽略不计)测得该教学楼顶端 的仰角 ; ②小强站在点 处，某一时刻，该教学楼在阳光下的影子顶端和小强在阳光下的影子顶端重合于地面上的点 处; ③ 小强的身高 米，小亮用皮尺测得 米， 米. 已知 ， ，点 、 、 、 在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内. 请你根据以上数据求出该教学楼的高度 . (参考数据: ) 1. C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题, 熟练掌握三角函数的定义是解题的关键. 根据三角函数的定义即可得到结论. 【详解】解: 在 中, , , 答: 处到 处的距离为 . 故选: C. 2. A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题, 熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. 根据题意可得: ，在 Rt 中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答. 【详解】解: 由题意得: , 在 Rt 中, 千米, , 千米. 故选: A . 3. A 【分析】此题考查了解直角三角形的应用, 解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形. 过点 作 于点 ,则 ,证明四边形 是矩形,则 ,由 得到 ,即可得到答案. 【详解】解: 过点 作 于点 ,则 , , 边形 是矩形， 在 Rt 中, 故选: A. 4. C 【分析】本题考查了解直角三角形 - 仰角俯角问题; 利用三角函数把 和 用含 的代数式表示出来,再根据 求出结果即可. 【详解】解: , , 在 中, , , 在 中， ， , . 故选: C. 5. C 【分析】先解直角三角形得 ,后根据 解答即可. 本题考查了矩形的判定和性质, 仰角的计算, 熟练掌握解直角三角形是解题的关键. 【详解】解: 根据题意,得到四边形 是矩形, 故 ， 由 得 , 故 , 故选: C. 6. A 【分析】本题考查解直角三角形,设旗杆的高度 米,根据解直角三角形表示出 , 的长,根据 即可列出方程. 【详解】解: 设旗杆的高度 米, , 在 Rt 中, (米), , 在 中, (米), ， , . 故选: A. 7. C 【分析】本题主要考查了解直角三角形,解直角三角形分别求出 的长,则可求出 的长. 【详解】解: 由题意得, , 在 Rt 中, , 在 Rt 中, , 故选: C. 8. C 【分析】本题考查运用三角函数的定义解直角三角形. 应用含 的式子表示出 , . 根据 得方程即可求出山高 . 【详解】解: 设山高 为 , 在 Rt 中有: , 在 Rt 中有: , 而 , 解得 米. 故选: C. 9. B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角问题, 熟练掌握解直角三角形是解题的关键. 作 ,根据解直角三角形求出 ,继而得到 ，计算即可得到答案. 【详解】解: 如图,作 , , , 米, ， 小车过山洞的平均速度为 米/秒, 故选: B. 10. A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题, 解决此类问题要了解仰角和俯角的定义, 找到与已知和未知相关联的直角三角形, 当图形中没有直角三角形时, 要通过作高或垂线构造直角三角形, 把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决, 也考查了坡度与坡角. 过 点作 于 点，先计算出 ，进而得到 ，易得四边形 为矩形，根据矩形的性质求出 ,再利用等腰直角三角形的性质求解. 【详解】解: 过 点作 于 点,如图, 根据题意得 , 在 中, , , . , 四边形 为矩形, . 在 Rt 中, , , , 即该实验楼的高度为 . 故选: A. 11. 【分析】本题考查了解直角三角形, 特殊角的正切值. 解题的关键在于构造直角三角形. 如图所示,过点 作 ,则四边形 为矩形, 米, 米, 在 Rt 中, ,求出 的值,根据 ,计算求解即可. 【详解】解: 如图所示,过点 作 , 则四边形 为矩形, 米， 米， 在 Rt 中, , (米), (米), 故答案为: . 12. 89.28 【分析】本题考查解直角三角形的应用,作 ,分别解 和 ,求出 的长,再根据线段的和差关系进行求解即可. 【详解】解: 作 ,由题意, 米, 在 中， 米, 在 Rt 中, 米, ; 故这栋楼的高度是 89.28 米; 故答案为: 89.28 . 13. 14.4 【分析】本题考查了解直角三角形的应用 - 仰角俯角问题、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定; 正确作出辅助线是解题的关键. 作 于 ，则 ，四边形 是矩形,得出 ,求出 ,证出 ,得出 ,在 中,由直角三角形的性质得出 ,即可得出答案. 【详解】解: 作 于 ,如图所示: 则 ，四边形 是矩形， ， ， , , , , , 在 中, , ， ； 故答案为 14.4. 14. 262 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用, 理解仰角的含义并熟练地运用三角函数解决问题是关键. 过点 作 ,垂足为 ,则 ,求解 , ，从而可得答案. 【详解】解: 过点 作 ,垂足为 , , , 四边形 是矩形, 则 ， 在 中， ， , 在 Rt 中, , , , 该建筑的高度 约为 . 故答案为: 262 . 15. 54.3 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角、俯角问题，熟练掌握知识点, 准确理解题意是解题的关键. 先根据正切的定义表示出 ， ，再根据 求出 ， 进而求解即可. 【详解】解: 在 Rt 中, , , , 在 Rt 中, , , , , ， 米, 故答案为: 54.3 . 16. 22 【分析】本题考查了解直角三角形的应用, 根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键. 过点 作 ,垂足为 ,延长 交 于点 ,设 米,根据锐角三角函数的定义列出方程,解得 ,接着求出 ,再求出 ,即可解决问题. 【详解】解: 如图,过点 作 ,垂足为 ,延长 交 于点 , 由题意得: 米， ， ， 设 米, 米 在 中, , (米), 在 中, , 米, , 解得: , (米)， (米)， 在 中, , (米), (米). 故答案为:22 . 17. 乙楼的高为 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用, 矩形的判定与性质, 正确理解题意, 构造直 角三角形是解题的关键. 先证明四边形 为矩形, ,依题意得 , ，则 ，然后解Rt 求出 ，再由 即可求解. 【详解】解: 过点 作 ,如图, 由题意得, , 四边形 为矩形, , 依题意得 , 在 Rt 中, , , ， 答: 乙楼的高为 . 18. 铁塔 的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题, 熟练掌握以上知识点是解题的关键. 延长 交 于点 ，根据题意可得: ， ，设 ，在 中， 求出 ,再在 中,求出 ,最后根据 ,列出方程,进行计算即可解答. 【详解】解: 如图,延长 交 于点 , 由题意得: ， ， 设 , 在 中, , , 在 中, , , ， , 解得 , , . 答: 红山塔 的高度约为 . 19. 24 米 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用,先理解题意,得出 是等腰直角三角形, 又因为在文昌阁底部正前方的平地上选取相距 10 米的 ,得出 米,再把数值代入 计算，即可作答. 【详解】解: 在 点测得文昌阁顶部 的仰角为 , ， 是等腰直角三角形， ， 在文昌阁底部正前方的平地上选取相距 10 米的 、 ， 米, 则 ， ， 在 点测得文昌阁顶部 的仰角为 . , , , 解得 , 文昌阁的高度约为 24 米. 20. 桥塔 的高度约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用, 连接 交 于点 ,则 ,由题意得 , 再设 ,则 ,然后根据 相等可得方程,求出解,最后根据 得出答案. 【详解】解: 如图,连接 交 于点 ,则 , 由题意得: ， ， 设 ,则 , 在 中, , . 在 中, , , , 解得: , , , 桥塔 的高度约为 . 21. 点 到地面的距离 的长约为 . 【分析】本题考查了解直角三角形的应用- 仰角俯角问题, 根据等腰直角三角形的性质得到 ，根据正切的定义求出 ，结合图形计算即可. 【详解】解: 由题易得四边形 、四边形 均为矩形, 则 , , , 由题意可得, , 设 ,则 , , 在 Rt 中, , , , 解得: , , 答: 点 到地面的距离 的长约为 . 22. 悬空寺底部点 距离地面的高度 约为 54 米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用, 延长 交 于点 ，根据矩形的性质得 米， 米，再设 米，可得 ,然后根据 求出 ,则可知 米. 最后根据 得出答案. 【详解】解: 如图,延长 交 于点 ,则四边形 均为矩形, 米, 米. 设 米. 在 中, ,所以 . 所以 . 在 Rt 中, ,所以 . 解得 . 所以 米. 所以 (米). 答: 悬空寺底部点 距离地面的高度 约为 54 米. 23. 该教学楼的高度 为 12 米. 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用, 先说明 ,可得 ①,再根据 可得 ②, 然后将两式联立求出答案即可. 【详解】解: , , , , , , 即 ①. , 在 中, , , 即 ,② 联立①②解得 , 该教学楼的高度 为 12 米. 学科网（北京）股份有限公司 $